（鄂尔多斯专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 提分微课（03）常考相似模型课件

提分微课（三）常考相似模型相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种演变和联系.类型一8字型有一组对顶角,此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等.根据对应关系不同,可将这类型分为下面两种常见图形:图W3-1①②8字型倒8字型(AB∥CD,则△OBA∽△OCD)(AB,CD不平行,∠A=∠C或∠B=∠D,则△OAB∽△OCD)1.[2019·江西联考]如图W3-2,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.𝑂𝐵𝐶𝐷=32B.𝛼𝛽=32C.𝑆1𝑆2=32D.𝐶1𝐶2=32图W3-2[答案]D[解析]A选项,OB和CD不是对应边,因此它们的比值不一定等于相似比,所以A选项不一定成立;B选项,∠A和∠C是对应角,因此α=β,所以B选项不成立;C选项,因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以C选项不成立;D选项,因为相似三角形的周长比等于相似比,所以D选项一定成立.故选D.2.[2019·镇江模拟]如图W3-3,D,E分别为△ABC的边BA,CA延长线上的点,且DE∥BC.如果𝐷𝐸𝐵𝐶=35,CE=16,那么AE的长为.图W3-3[答案]6[解析]∵DE∥BC,∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐸𝐴𝐴𝐶.∵𝐷𝐸𝐵𝐶=35,CE=16,∴𝐴𝐸16-𝐴𝐸=35,解得AE=6.3.[2019·东城一模]如图W3-4,在▱ABCD中,点E在DA的延长线上,且AE=13AD,连接CE交BD于点F,则𝐸𝐹𝐹𝐶的值是.图W3-4[答案]43[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,设AD=3a,则AE=a,∵DE∥BC,∴△EDF∽△CBF,∴𝐸𝐹𝐹𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶=4𝑎3𝑎=43.故答案为43.类型二A字型图W3-5有一个公共角,外加另外一组对应角相等.根据对应关系不同,可将这类型分为下面两种常见图形:①②A字型倒A字型(DE∥BC,则△ADE∽△ABC)(DE,BC不平行,∠B=∠AED或∠C=∠ADE,则△AED∽△ABC)4.[2019·镇江南徐中学模拟]如图W3-6,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC.若AD=2,AB=3,DE=4,则BC的长为.图W3-6[答案]6[解析]∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷,即𝐵𝐶4=32,∴BC=6.故答案为:6.5.如图W3-7,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,且AB=9,AC=6,AD=3.若使△ADE∽△ABC,则AE的长为.图W3-726.[2019·邯郸永年区一模]如图W3-8,Rt△ABP的直角顶点P在第四象限,顶点A,B分别落在反比例函数y=𝑘𝑥图象的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为(1,3).(1)填空:k=;(2)求证:CD∥AB;(3)当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时,求点P的坐标.图W3-8解:(1)3[解析]∵点B(1,3)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴k=1×3=3.故答案为:3.6.[2019·邯郸永年区一模]如图W3-8,Rt△ABP的直角顶点P在第四象限,顶点A,B分别落在反比例函数y=𝑘𝑥图象的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为(1,3).(2)求证:CD∥AB;图W3-8解:(2)证明:∵反比例函数解析式为y=3𝑥,∴设A点坐标为a,3𝑎.∵PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,∴D点坐标为0,3𝑎,P点坐标为1,3𝑎,C点坐标为(1,0),∴PB=3-3𝑎,PC=-3𝑎,PA=1-a,PD=1,∴𝑃𝐶𝑃𝐵=-3𝑎3-3𝑎=11-𝑎,𝑃𝐷𝑃𝐴=11-𝑎,∴𝑃𝐶𝑃𝐵=𝑃𝐷𝑃𝐴.又∵∠P=∠P,∴△PDC∽△PAB,∴∠CDP=∠A,∴CD∥AB.6.[2019·邯郸永年区一模]如图W3-8,Rt△ABP的直角顶点P在第四象限,顶点A,B分别落在反比例函数y=𝑘𝑥图象的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴,y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为(1,3).(3)当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时,求点P的坐标.图W3-8解:(3)∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等,∴S△PAB=2S△PCD,∴12×3-3𝑎×(1-a)=2×12×1×-3𝑎,整理得:(a-1)2=2,解得:a1=1-2,a2=1+2(舍去),∴P点坐标为(1,-32-3).类型三子母型图W3-9有一个公共角,且公共角的一边为公共边.需要从已知条件、隐含条件中证明另外一组角相等.常见的图形如图①:∠ACD=∠B,∠ADC=∠ACB,本图是最一般的子母型.如图②,∠ACB=90°,CD⊥AB,图中的三个直角三角形都相似,这个图形也很常见.①②(∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB,△ADC∽△ACB∽△CDB则△ACD∽△ABC)[答案]C7.如图W3-10,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为()A.1B.2C.3D.4图W3-10[解析]∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐶2=14.∵S△ACD=1,∴S△ABC=4,S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.8.如图W3-11,已知△ABC中,P是AC上一点,则下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.𝐵𝐴𝐵𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵D.𝐴𝐵𝐴𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵图W3-11C9.如图W3-12,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AD=4,BD=9,则CD的长为()A.23B.32C.313D.6图W3-12[答案]D[解析]在Rt△ABC中,AB为斜边,CD为斜边AB上的高,由△ADC∽△CDB得,CD2=AD·BD,∴CD=6.故选D.10.如图W3-13,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(1)求抛物线的表达式;(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若△AOC与△ACP相似,求点P的坐标;(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若△ABQ与△AOC相似,直接写出m的值.图W3-13解:(1)由题知,当x=0时,y=kx+1=1,∴C(0,1),∵抛物线y=ax2-(6a-2)x+b经过C(0,1),B(4,3),∴𝑏=1,3=𝑎×42-(6𝑎-2)×4+𝑏,解得𝑎=34,𝑏=1,∴抛物线表达式为y=34x2-52x+1.10.如图W3-13,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若△AOC与△ACP相似,求点P的坐标;图W3-13解:(2)∵直线AC经过点B(4,3),∴将点B的坐标代入直线解析式得3=4k+1,解得k=12,∴直线AC的解析式为y=12x+1,令y=0,解得x=-2,∴点A的坐标为(-2,0),∴AO=2,CO=1,∴AC=𝐴𝑂2+𝐶𝑂2=22+12=5,设点P(p,0),则PA=p+2,∵∠OAC=∠CAP,∴要使△AOC与△ACP相似,则需①𝐴𝐶𝐴𝑂=𝐴𝐶𝐴𝑃,此时点P与点O重合,不符合题意;②𝐴𝐶𝐴𝑂=𝐴𝑃𝐴𝐶,即52=𝑝+25,解得p=12,∴若△AOC与△ACP相似,点P的坐标为12,0.解:(3)m的值为4或112.10.如图W3-13,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若△ABQ与△AOC相似,直接写出m的值.图W3-13类型四一线三等角基本图形1:三个相等的角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型,常见于等腰三角形或等边三角形的背景中.如图W3-14所示:图W3-14解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠C.∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,∴𝐵𝑃𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐶𝑃,∴AB·CD=CP·BP.∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.11.如图W3-15,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证:AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.图W3-15解:(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.∵∠B=∠B,∴△BAP∽△BCA,∴𝐵𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑃𝐵𝐴.∵AB=10,BC=12,∴1012=𝐵𝑃10,∴BP=253.11.如图W3-15,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.图W3-15基本图形2:当在一线三等角模型中,三个等角为90°时,模型会变得更加特殊,如图W3-16.图W3-1612.如图W3-17,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求证:△EBF∽△FCG.图W3-17证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°,∵∠EFG=90°,∴∠BFE+∠CFG=90°,而∠BFE+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFG,∴△EBF∽△FCG.解:设PD为x,则PC=7-x,∵∠D=∠C,∴当𝐷𝐴𝐶𝐵=𝐷𝑃𝐶𝑃时,△DAP∽△CBP,即24=𝑥7-𝑥,解得x=73;当𝐷𝐴𝐶𝑃=𝐷𝑃𝐶𝐵时,△DAP∽△CPB,即27-𝑥=𝑥4,解得x1=7+172,x2=7-172.∴DP的长为73或7+172或7-172.13.如图W3-18,AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似,求PD的值.图W3-18