（鄂尔多斯专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第22课时 解直角三角形的应用课件

第22课时解直角三角形的应用【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测解直角三角形的应用19题,8分19题,7分21题,8分20题,8分20题,7分★★★★★基础知识巩固高频考向探究考点解直角三角形的实际应用考点聚焦仰角和俯角在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角坡度和坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比hl叫做坡面的坡度(或坡比),记作i;坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.tanα=hl,坡度越大,坡角越大,坡面越陡基础知识巩固高频考向探究方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角(续表)基础知识巩固高频考向探究1.如图22-1,为了测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.30tan𝛼米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米题组一必会题对点演练C图22-1基础知识巩固高频考向探究2.如图22-2,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向的500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A.250米B.2503米C.50033米D.5002米图22-2A基础知识巩固高频考向探究3.在某市举行的国际马拉松比赛中,中央电视台体育频道用直升机航拍技术进行全程直播.如图22-3,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点的距离是米.图22-3200(𝟑+1)基础知识巩固高频考向探究图22-44.[2017·德阳]如图22-4,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=62米,背水坡CD的坡度i=1∶3(i为DF与FC的比值),则背水坡的坡长为米.12基础知识巩固高频考向探究【失分点】解决问题时对条件理解不清楚,选择错误的三角函数关系求解.题组二易错题5.[2018·长春]如图22-5,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.800sin𝛼米D.800tan𝛼米图22-5基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]由题意可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,由tanα=𝐴𝐶𝐴𝐵,可得AB=800tan𝛼米.故选D.基础知识巩固高频考向探究6.[2018·宁波]如图22-6,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为米.(结果保留根号)图22-6基础知识巩固高频考向探究[答案](12003-1200)[解析]∵CD∥HB,∴∠CAH=45°,∠HBC=30°.在Rt△CHA中,AH=CH=1200米.在Rt△CHB中,HB=3CH=12003米,∴AB=HB-AH=12003-1200(米).基础知识巩固高频考向探究例1[2019·黄冈]如图22-7,两座建筑物的水平距离BC为40m,从A点测得D点的俯角α为45°,测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位,2≈1.414,3≈1.732)考向一利用直角三角形解决与高度(或宽度)有关的问题图22-7基础知识巩固高频考向探究解:延长CD交过点A的水平直线于点E,则∠AEC=90°.AE=BC=40m.在Rt△AED中,∠EAD=45°,tan∠EAD=𝐷𝐸𝐴𝐸,∴ED=AEtan45°=40m.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=40m,∴AB=403≈69.3m,则CD=EC-ED=AB-ED=403-40≈29.3m.答:这两座建筑物AB,CD的高度分别为69.3m和29.3m.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)不同地点看同一点(如图22-8).(2)同一地点看不同点(如图22-9).(3)利用反射构造相似(如图22-10).图22-8图22-9图22-10基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图22-11[2018·鄂尔多斯20题]王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架,完全稳固张开如图22-11①,图②,图③是晾衣架的侧面展开图,△AOB是边长为130cm的等边三角形,晾衣杆OE,OF能以O为圆心转动,且OE=OF=130cm.在OA,OB上的点C,D处分别有支撑杆CN,DM能以C,D为圆心转动.(1)如图②,若EF平行于地面AB,王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110cm,垂挂在晾衣杆OE上是否会拖到地面上?说明理由.基础知识巩固高频考向探究(2)如图③,当支撑杆DM支到点M'时,∠EOB=78°,点E离地面距离最大.保证衣服不拖到地面上,衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米?结果取整数,参考数据:3≈1710,sin78°≈4950,cos78°≈15,sin18°≈310,cos18°≈1920图22-11基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图①,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵在等边三角形OAB中,∠OBG=60°,OB=130cm,∴OG=OB·sin60°=130×32≈110.5(cm),∵110110.5,∴总长度是110cm的衣服垂挂在晾衣杆OE上不会拖到地面上.基础知识巩固高频考向探究[2018·鄂尔多斯20题]王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架,完全稳固张开如图22-11①,图②,图③是晾衣架的侧面展开图,△AOB是边长为130cm的等边三角形,晾衣杆OE,OF能以O为圆心转动,且OE=OF=130cm.在OA,OB上的点C,D处分别有支撑杆CN,DM能以C,D为圆心转动.(2)如图③,当支撑杆DM支到点M'时,∠EOB=78°,点E离地面距离最大.保证衣服不拖到地面上,衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米?结果取整数,参考数据:3≈1710,sin78°≈4950,cos78°≈15,sin18°≈310,cos18°≈1920图22-11基础知识巩固高频考向探究解:(2)如图②,过点E作EH⊥AB,垂足为H,过点O作OK⊥EH,垂足为K.则∠KOB=∠ABO=60°,KH=110.5cm.∵∠EOB=78°,∴∠EOK=18°.在Rt△EOK中,EK=OE·sin18°≈130×310=39(cm).∴EH=EK+KH=39+110.5=149.5≈150(cm).∴衣服穿在衣架上的总长度最长约为150cm.基础知识巩固高频考向探究考向二利用直角三角形解决方位角问题例2[2018·襄阳]为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上,继续行驶40秒到达B处时,测得建筑物P在北偏西60°方向上,如图22-12,求建筑物P到赛道AB的距离.(结果保留根号)图22-12基础知识巩固高频考向探究解:如图,过点P作PC⊥AB于点C.由题意知,∠PAC=60°,∠PBC=30°.在Rt△PAC中,𝑃𝐶𝐴𝐶=tan∠PAC,∴AC=33PC.在Rt△PBC中,𝑃𝐶𝐵𝐶=tan∠PBC,∴BC=3PC.∵AB=AC+BC=33PC+3PC=10×40=400,∴PC=1003.答:建筑物P到赛道AB的距离为1003米.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2014·鄂尔多斯19题]某实践小组去公园测量人工湖AD的长度.如图22-13,小明进行如下测量:点D在点A的正北方向,点B在点A的北偏东50°方向,AB=40米.点E在点B的正北方向,点C在点B的北偏东30°方向,CE=30米.点C和点E都在点D的正东方向,求AD的长.(结果精确到1米,参考数据:3≈1.732,sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)图22-9基础知识巩固高频考向探究解:如图,过点B作BF⊥AD于点F,则∠DFB=∠AFB=90°.由题意知,∠D=∠DEB=∠CEB=90°,∴∠D=∠DEB=∠DFB=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴DF=EB.在Rt△AFB中,∵cosA=𝐴𝐹𝐴𝐵,∴AF=AB·cosA.在Rt△EBC中,∵tan∠EBC=𝐶𝐸𝐵𝐸,∴BE=𝐶𝐸tan∠𝐸𝐵𝐶.由题意知,∠A=50°,∠EBC=30°,AB=40米,CE=30米,∴AF=40×cos50°≈25.72(米),EB=30tan30°≈51.96(米).又∵AD=AF+DF,∴AD=AF+EB≈78(米).答:AD的长约是78米.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·鄂尔多斯20题]某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动,澄澄老师在网上查得,A和B分别位于学校D的正北和正东方向,B位于A南偏东37°方向,校车从D出发,沿正北方向前往A地,行驶到15千米的E处时,导航显示,在E处北偏东45°方向有一服务区C,且C位于A,B两地中点处.(1)求E,A两地之间的距离.(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地,若这段路程限速100千米/时,计算校车是否超速?参考数据:sin37°=35,cos37°=45,tan37°=34图22-14基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图,作CH⊥AD于H.由题意可知∠HEC=45°,可得CH=EH,设CH=HE=x千米,∵点C是AB的中点,CH∥BD,∴AH=HD=(x+15)千米,在Rt△ACH中,tan37°=𝐶𝐻𝐴𝐻,∴34=𝑥𝑥+15,∴x=45,∴CH=45千米,AH=60千米,AD=120千米,∴EA=AD-DE=120-15=105(千米).基础知识巩固高频考向探究2.[2019·鄂尔多斯20题]某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动,澄澄老师在网上查得,A和B分别位于学校D的正北和正东方向,B位于A南偏东37°方向,校车从D出发,沿正北方向前往A地,行驶到15千米的E处时,导航显示,在E处北偏东45°方向有一服务区C,且C位于A,B两地中点处.(2)校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地,若这段路程限速100千米/时,计算校车是否超速?参考数据:sin37°=35,cos37°=45,tan37°=34图22-14基础知识巩固高频考向探究解:(2)在Rt△ACH中,AC=452+602=75(千米),∴AB=2AC=150(千米),1小时40分钟=53小时,150÷53=90(千米/时),∵90100,∴校车没有超速.基础知识巩固高频考向探究考向三利用直角三角形解决坡度问题例3[2018·连云港]如图22-15①,水坝的横截面是梯形ABCD,∠ABC=37°,坝顶DC=3m,背水坡AD的坡度i(即tan∠DAB)为1∶0.5,坝底AB=14m.(1)求坝高;(2)如图②,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使AE=2DF,EF⊥BF,求DF的长.参考数据:sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈34图22-15基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图①,过点D作DM⊥AB,垂足为M,过点C作CN⊥AB,垂足为N.因为背水坡AD的坡度i为1∶0.5,所以tan∠DAB=2,设AM=x,则DM=2x.因为四边形DMNC是矩形,所以NC=DM=2x,MN=DC=3.在Rt△BNC中,tan∠ABC=tan37°=𝐶𝑁𝐵𝑁=2𝑥𝐵𝑁=34,所以BN=