（鄂尔多斯专版）2020中考数学复习方案 第四单元 三角形 第19课时 直角三角形课件

第19课时直角三角形【考情分析】考点2015中考相关题2016中考相关题2017中考相关题2018中考相关题2019中考相关题2020中考预测直角三角形的概念、性质与判定22题,8分9题,3分16题,3分★★★★★勾股定理与逆定理10题,3分22题,8分9题,3分23题,11分19题,5分24题,12分★★★★★基础知识巩固高频考向探究考点一直角三角形考点聚焦定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于③;(3)直角三角形斜边上的中线等于④;(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑤直角互余斜边的一半斜边的一半a2+b2=c2基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一个角等于⑥的三角形是直角三角形(定义);(2)两个内角⑦的三角形是直角三角形;(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形拓展(续表)(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边上高的长度;(2)Rt△ABC内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即等于斜边的一半90°互余基础知识巩固高频考向探究考点二勾股定理的探索过程1.赵爽弦图如图19-1,∵大正方形的边长为c,∴大正方形的面积为c2.又∵大正方形的面积=4×12ab+(a-b)2=a2+b2,∴a2+b2=c2.图19-1基础知识巩固高频考向探究2.詹姆斯·加菲尔德总统拼图如图19-2,设梯形的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12a2+12b2+ab.又∵S=12ab+12ab+12c2=12c2+ab,∴a2+b2=c2.图19-2基础知识巩固高频考向探究3.毕达哥拉斯拼图由图19-3①得大正方形的面积为c2+4×12ab,由图②得大正方形的面积为a2+b2+4×12ab,∴a2+b2=c2.图19-3基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.下列四组线段,能组成直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,c=5D基础知识巩固高频考向探究2.若直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此直角三角形斜边上的中线的长是()A.5B.6C.6.5D.13C基础知识巩固高频考向探究3.[2017·大连]如图19-4,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A.2aB.22aC.3aD.433a图19-4基础知识巩固高频考向探究[解析]因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以CE=𝐶𝐷2+𝐷𝐸2=𝑎2+𝑎2=2a.又因为在△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,所以AE=BE=CE,所以AB=2CE=22a.故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究【失分点】在直角三角形中不确定斜边时未分类讨论;忽视三角形作高时高的三种位置情况.题组二易错题4.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.[答案]5或7[解析](1)若4是直角边长,则边长x是斜边.由勾股定理,得32+42=x2,所以x=5.(2)若4是斜边长,则边长x为直角边.由勾股定理,得32+x2=42,所以x=7.所以x的值为5或7.基础知识巩固高频考向探究5.[2018·襄阳]已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.[答案]23或27[解析]分两种情况:①当△ABC是锐角三角形时,如图①.∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°.∵CD=3,AD=1,∴AC=2.∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=4-1=3,∴BC=𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=(3)2+32=23.②当△ABC是钝角三角形时,如图②.同理可知,AC=2,AB=4,∴BD=4+1=5,∴BC=𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=(3)2+52=27.综上所述,BC的长为23或27.基础知识巩固高频考向探究考向一直角三角形的性质例1如图19-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN.(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.图19-5基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:在△CAD中,∵M,N分别是AC,CD的中点,∴MN∥AD,且MN=12AD.在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=12AC.又∵AC=AD,∴BM=MN.基础知识巩固高频考向探究例1如图19-5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.图19-5基础知识巩固高频考向探究解:(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°.由(1)知,BM=12AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2.由(1)知,MN=BM=12AC=12×2=1,∴BN=2.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·淄博]如图19-6,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.43D.8图19-6基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,∴∠NMC=∠AMN=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠AMN=∠B=30°.∵AN=1,∴NC=MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·玉林]如图19-7,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是.图19-7[答案]2AD8[解析]如图,延长BC交AD的延长线于点E,过点B作BF⊥AD于点F.在Rt△ABE中,∵∠A=60°,∴∠E=30°.∵AB=4,∴AE=2AB=8.在Rt△ABF中,AF=12AB=2,∴AD的取值范围为2AD8.基础知识巩固高频考向探究考向二利用勾股定理求线段的长度例2如图19-8,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为()A.3B.154C.5D.152图19-8基础知识巩固高频考向探究[解析]设ED=x,则AE=6-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠EDB=∠DBC.由翻折,得∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得x=154,∴ED=154.故选B.[答案]B基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)计算有关线段长问题时,如果所求线段是在直角三角形中,可以用勾股定理求解;(2)解决翻折问题时,需要借助等量关系把已知量与未知量转化到一个直角三角形中,利用勾股定理建立方程求解.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·毕节]如图19-9,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为()A.3B.3C.5D.5图19-9基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴BC2=EC2-EB2=22-12=3,∴正方形ABCD的面积=BC2=3.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·鄂尔多斯9题]如图19-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,M为AB边的中点,将Rt△ABC绕点M旋转,使点C与点A重合,得到△DEA,AE交CB于点N.若AB=213,AC=4,则CN的长为()A.103B.23C.43D.53图19-10基础知识巩固高频考向探究[解析]∵将Rt△ABC绕点M旋转得△DEA,∴△ABC≌△DEA,且AM=DM,BM=EM,∠DAE=∠C=90°,∠E=∠B.∵AM=BM,∴DM=EM,即M为Rt△DEA斜边的中点,∴MA=ME,∴∠BAE=∠E.又∵∠E=∠B,∴∠BAE=∠B,∴AN=NB.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=𝐴𝐵2-𝐴𝐶2=6.设CN=x,则AN=NB=6-x.在Rt△CAN中,AN2=AC2+CN2,即(6-x)2=42+x2,解得x=53,即CN=53.故选D.[答案]D基础知识巩固高频考向探究考向三勾股定理的实际应用例3如图19-11,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长是()A.13cmB.261cmC.61cmD.234cm图19-11基础知识巩固高频考向探究[解析]如图,将容器侧面的一半展开,作点A关于EF的对称点A',连接A'B,根据两点之间线段最短可知,A'B即为最短路径.过A'作A'D⊥BD,由题意,知A'D=5cm,BD=12-3+3=12(cm),∴A'B=𝐴'𝐷2+𝐵𝐷2=52+122=13(cm).故选A.[答案]A基础知识巩固高频考向探究【方法点析】转化思想——在求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图形,再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|如图19-12是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是cm.图19-12基础知识巩固高频考向探究[答案]85[解析]如图,AB就是蚂蚁爬行的最短路线.但有三种情况:当AD=3,DB=4+6=10时,AB=32+102=109;当AD=4,DB=6+3=9时,AB=42+92=97;当AD=6,DB=3+4=7时,AB=62+72=85.∵1099785,∴蚂蚁需要爬行的最短路径的长是85cm.