（安徽专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的综合应用课件

第13课时二次函数的综合应用【考情分析】考点二次函数的综合应用年份20162014题号2222题型解答题解答题分值12分12分热度预测★★★★★考点一解二次函数与几何综合题的一般思路考点聚焦注意:(1)研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k,b;(2)关键点坐标转化为线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息.图13-1考点二二次函数“新定义”型问题解题策略“新定义”型问题,一般是在问题中定义了我们没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解,根据新定义进行运算,推理,迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学的热点.同学们在复习备考中应重视应用新的知识解决问题的能力培养.解决“新定义”型函数问题关键要把握两点:一是掌握问题原型中函数的性质特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.对点演练题组必会题1.抛物线y=-23x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=33x上,则关于△OAB的判断正确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形[答案]A[解析]抛物线y=-23x2+2bx中顶点B的坐标为32b,32b2,代入直线y=33x中,得32b2=3𝑏2,得b1=33,b2=0(舍去),即可得出O(0,0),A(3,0),B32,12,可得OB=1,∠ABO=120°.根据抛物线的对称性,可知BA=BO.故△BOA为等腰三角形.2.[2018·贵阳]已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图13-2所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是()A.-254m3B.-254m2C.-2m3D.-6m-2图13-2[答案]D[解析]当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6(-2≤x≤3),当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有相等的实数解,解得m=-6,所以当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为-6m-2.故选D.3.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两点,P为它的顶点,则S△PAB=.[答案]8[解析]将二次函数y=-x2+2x+3化为y=-(x-3)(x+1),已知二次函数与x轴交于A,B两点,故x1=3,x2=-1.将一般式化为顶点式为y=-(x-1)2+4,得出顶点坐标为(1,4),故S△PAB=12×4×4=8.图13-34.如图13-3,抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A,B两点,两条抛物线的顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为.[答案]0.16[解析]∵抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A,B两点,∴点A,B两点的坐标分别是:2𝑎𝑎,0,-2𝑎𝑎,0.又∵抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4的顶点分别为C,D,∴点C,D的坐标分别是(0,4),(0,-4),∴CD=8,AB=4𝑎𝑎,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=12AB·OD+12AB·OC=12AB·CD=12×8×4𝑎𝑎=40,解得a=0.16,∴a=0.16.考向一二次函数与几何图形的简单综合例1已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.图13-4解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-3,0),D(-2,-3),∴9-3𝑏+𝑐=0,4-2𝑏+𝑐=-3,解得𝑏=2,𝑐=-3.∴二次函数解析式为y=x2+2x-3.例1已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;图13-4解:(2)∵抛物线对称轴为x=-1,D(-2,-3),C(0,-3),∴C,D关于直线x=-1对称,连接AC与对称轴的交点就是点P,此时PA+PD=PA+PC=AC=𝑂𝐴2+𝑂𝐶2=32+32=32.例1已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.图13-4解:(3)设点P坐标为(m,m2+2m-3),令y=0,则x2+2x-3=0,解得x=-3或1,∴点B坐标为(1,0),AB=4.∵S△PAB=6,∴12×4·|m2+2m-3|=6,∴m2+2m-6=0或m2+2m=0,∴m=0或-2或-1+7或-1-7.∴点P坐标为(0,-3)或(-2,-3)或(-1+7,3)或(-1-7,3).|考向精练|图13-51.如图13-5,O为坐标原点,边长为2的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,使点B落在某抛物线上,则该抛物线的解析式为()A.y=23x2B.y=-13x2C.y=-12x2D.y=-3x2[答案]B[解析]如图,过点B作BE⊥x轴于点E,连接OB.设抛物线的解析式为y=ax2.由题意可知∠AOE=75°.∵∠AOB=45°,∴∠BOE=30°.∵OA=2,∴OB=2,∴BE=12OB=1,∴OE=𝑂𝐵2-𝐵𝐸2=3,∴点B的坐标为(3,-1),代入y=ax2得a=-13,∴y=-13x2.2.[2016·安徽22题]如图13-6,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.图13-6解:(1)将点A的坐标(2,4)与点B的坐标(6,0)代入y=ax2+bx,得4𝑎+2𝑏=4,36𝑎+6𝑏=0,解得𝑎=-12,𝑏=3.2.[2016·安徽22题]如图13-6,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.图13-6解:(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4,S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD·CF=12×4×-12𝑥2+3𝑥=-x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.3.如图13-7,抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B4,52,点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式;(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.图13-7解:(1)由题意得𝑎-𝑏+52=0,16𝑎+4𝑏+52=52,解得𝑎=-12,𝑏=2,∴y=-12x2+2x+52.3.如图13-7,抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B4,52,点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.图13-7解:(2)设直线AB为y=kx+t,则有-𝑘+𝑡=0,4𝑘+𝑡=52,解得𝑘=12,𝑡=12,∴y=12x+12,则Dm,-12m2+2m+52,Cm,12m+12,CD=-12m2+2m+52-12m+12=-12m2+32m+2,∴S=S△ACD+S△BCD=12(m+1)·CD+12(4-m)·CD=12×5CD=12×5×-12m2+32m+2=-54m2+154m+5(-1m4),∵-540,∴当m=32时,S有最大值,当m=32时,12m+12=12×32+12=54,∴点C32,54.考向二新定义背景下的二次函数性质题例2[2019·荆州]若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.解:(1)∵y=x2-4,∴其顶点坐标为(0,-4),∵y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,∴(0,-4)在一次函数y=-x+p的图象上,∴-4=0+p.∴p=-4,∴一次函数为y=-x-4,∴一次函数图象与坐标轴的交点分别为(0,-4),(-4,0),∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边长都为|-4|=4,∴直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为:12×4×4=8.例2[2019·荆州]若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(2)若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.解:(2)设函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=-2,x1x2=n,∴|x1-x2|=(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=4-4𝑛,∵函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离为4,∴4-4𝑛=4,解得,n=-3,∴函数y=x2+2x+n为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴其顶点坐标为(-1,-4),∵y=x2+2x+n是y=mx-3(m≠0)的伴随函数,∴-4=-m-3,∴m=1.|考向精练|1.[2019·岳阳]对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1,x2,且x11x2,则c的取值范围是()A.c-3B.c-2C.c14D.c1[答案]B[解析]当y=x时,x=x2+2x+c,即x2+x+c=0,由题意可知:x1,x2是该方程的两个实数根,∴𝑥1+𝑥2=-1,𝑥1·𝑥2=𝑐.∵x11x2,∴(x1-1)(x2-1)0,即x1x2-(x1+x2)+10,∴c-(-1)+10,∴c-2.又知方程有两个不相等的实数根,故Δ0,即1-4c0,解得c14,∴c的取值范围为c-2,因此本题选B.2.[2014·