高中数学-数列求和练习

高中数学-数列求和练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项的和为________．解析因为Snn＝n＋2，所以Snn的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案752．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．解析Sn＝－2n1－2＋n＋2n－2＝2n＋1－2＋n2.答案2n＋1－2＋n23．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝_____.解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案94．(·西安质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2012＝______.解析a1＝1，a2＝2a1＝2，又an＋2·an＋1an＋1·an＝2n＋12n＝2.∴an＋2an＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2011＋a2012＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2012)＝1－210061－2＋－210061－2＝3·21006－3.答案3·21006－35．(·杭州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2012的值为________．解析由已知得b＝12，∴f(n)＝n2＋n，∴1fn＝1n2＋n＝1nn＋＝1n－1n＋1，∴S2012＝1－12＋12－13＋…[phone]＝1－12013＝20122013.答案201220136．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝12×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝12(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝12(2n－1)＝2n－1－12.答案－22n－1－127．(·山西晋中名校联合测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2013＝________.解析由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案－10058．(·武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝____.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)二、解答题9．(·江西卷)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝1n＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0，由于{an}是正项数列，则an＝2n.(2)由(1)知an＝2n，故bn＝1n＋an＝12nn＋＝121n－1n＋1，∴Tn＝121－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝121－1n＋1＝nn＋.10．(·东山二中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋an＋12n＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈N*)．求数列{cn}的前n项和Rn.解(1)设公差为d，则由已知，得4a1＋6d＝a1＋da1＋n－d＝2a1＋n－d＋1解得a1＝1，d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(2)∵an＝2n－1，∴由Tn＋an＋12n＝λ得Tn＋2n2n＝λ，即Tn＋n2n－1＝λ①∴Tn－1＋n－12n－2＝λ(n≥2)②①－②得bn＋n2n－1－n－12n－2＝0，∴bn＝n－22n－1(n≥2)∴cn＝b2n＝2n－222n－1＝n－14n－1∴Rn＝c1＋c2＋…＋cn＝0＋14＋242＋…＋n－24n－2＋n－14n－1③14Rn＝142＋243＋…＋n－24n－1＋n－14n④③－④得34Rn＝(14＋142＋…＋14n－1)－n－14n＝14－14n－11－14－n－14n＝13－13×14n－1－n－14n＝13－3n＋13×4n.∴Rn＝49－3n＋19·41－n能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·西安模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝12，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×12＋1＝6.答案62．(·长沙模拟)已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析若n为偶数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，为首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.答案－1003．设f(x)＝4x4x＋2，利用倒序相加法，可求得f111＋f211＋…＋f1011的值为______．解析当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＝＝1.设S＝f111＋f211＋…＋f1011，倒序相加有2S＝f111＋f1011＋f211＋f911＋…＋f1011＋f111＝10，即S＝5.答案5二、解答题4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2＝2an－2[(－1)n－1](n＝1,2,3，…)．(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；(2)令bn＝a2n－1·a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn3.(1)解分别令n＝1,2,3,4，可求得a3＝3，a4＝14，a5＝5，a6＝18.当n为奇数时，不妨设n＝2m－1，m∈N*，则a2m＋1－a2m－1＝2，所以{a2m－1}为等差数列．所以a2m－1＝1＋(m－1)·2＝2m－1，即an＝n.当n为偶数时，设n＝2m，m∈N*，则a2m＋2＝12a2m，所以{a2m}为等比数列，a2m＝12·12m－1＝12m.(2)证明bn＝a2n－1·a2n＝(2n－1)·12n，所以Tn＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n－1)·12n，所以12Tn＝1×122＋3×123＋…＋(2n－3)·12n＋(2n－1)·12n＋1.两式相减，得12Tn＝12＋2122＋123＋…＋12n－(2n－1)·12n＋1＝12＋2·141－12n－11－12－(2n－1)·12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.故Tn3.