【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测1 函数与导数(含解析)

第二部分大专题综合测1函数与导数时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)设集合M＝{－1}，N＝{1＋cosmπ4，log0.2(|m|＋1)}，若M⊆N，则集合N等于()A．{2}B．{－2,2}C．{0}D．{－1,0}[答案]D[解析]因为M⊆N且1＋cosmπ4≥0，log0.2(|m|＋1)0，所以log0.2(|m|＋1)＝－1，可得|m|＋1＝5，故m＝±4，N＝{－1,0}．(理)(2015·福建理，1)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅[答案]C[解析]考查：(1)复数的概念；(2)集合的运算．由已知得A＝{i，－1，－i,1}，故A∩B＝{1，－1}，故选C.2．(文)(2015·福建理，2)下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝|sinx|C．y＝cosxD．y＝ex－e－x[答案]D[解析]考查函数的奇偶性．函数y＝x是非奇非偶函数；y＝|sinx|和y＝cosx是偶函数；y＝ex－e－x是奇函数，故选D．(理)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|[答案]B[解析]A为减函数，C定义域为(0，＋∞)，D中函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．3．(文)已知y＝f(x)为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′(x)＋fxx0，则函数g(x)＝f(x)＋1x的零点个数为()A．1B．2C．0D．0或2[答案]C[解析]由条件知，f′(x)＋fxx＝[xfxx0.令h(x)＝xf(x)，则当x0时，h′(x)0，当x0时，h′(x)0，∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0.，则h(x)≥0对任意实数恒成立．函数g(x)的零点即为y＝h(x)与y＝－1的图象的交点个数，所以函数g(x)的零点个数为0.(理)(2014·浙江理，6)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0≤f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3B．3c≤6C．6c≤9D．c9[答案]C[解析]∵f(－1)＝f(－2)＝f(－3)－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，解得a＝6，b＝11.∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，又∵0f(－1)≤3，∴0c－6≤3，∴6c≤9，选C.4．(文)(2015·浙江理，4)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)n0[答案]D[解析]全称命题的否定为特称命题，“≤”的否定为“”．(理)(2015·浙江理，6)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立[答案]A[解析]考查集合的性质．命题①显然正确，通过下图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A.5．(文)(2014·福建理，4)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()[答案]B[解析]由图可知y＝logax图象过(3,1)，∴loga3＝1，∴a＝3，∵y＝3－x为减函数，∴排除A；∵y＝(－x)3当x0时，y0，∴排除C；∵y＝log3(－x)中，当x＝－3时，y＝1，∴排除D，∴选B．(理)函数f(x)＝2e－x2－x的图象大致是()[答案]B[解析]f′(x)＝2e－xx－－x2(x≠2)，令f′(x)0，得x1.故f(x)的减区间是(－∞，1)，增区间为(1,2)，(2，＋∞)，f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝2e0，故排除C、D两项；当x2时，f(x)0，排除A项，故选B项．6．(2015·北京海淀期末)设a＝0.23，b＝log20.3，c＝20.3，则()A．bcaB．cbaC．abcD．bac[答案]D[解析]因为0a＝0.231，b＝log20.30，c＝20.31，所以bac，故选D．7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]D[解析]由条件知f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．(理)若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)xf′(x)，则一定有()A．函数F(x)＝fxx在(0，＋∞)上为增函数B．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数C．函数F(x)＝fxx在(0，＋∞)上为减函数D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数[答案]C[解析]对于F(x)＝fxx，F′(x)＝xfx－fxx20，故F(x)在(0，＋∞)上为减函数．8．(文)若函数f(x)＝lnx＋ax在区间[1，e]上的最小值为32，则实数a的值为()A.32B．eC.e2D．非上述答案[答案]B[解析]f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，令f′(x)＝0，则x＝a，若a1，则f(x)min＝f(1)＝a＝321，不合题意．若ae，则f(x)min＝f(e)＝1＋ae＝32，则a＝e2e，不合题意．所以1≤a≤e，f(x)min＝f(a)＝lna＋1＝32，则a＝e.(理)(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－1x＋1.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D．9．(文)(2015·北京西城区二模)设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝cos(x＋π)为奇函数，则下列命题中真命题是()A．p∧qB．(¬p)∨qC．(¬p)∧(¬q)D．p∧(¬q)[答案]D[解析]p为真命题；∵cos(x＋π)＝－cosx，∴f(x)为偶函数，∴q为假命题．故选D．(理)(2015·杭州市质检)已知函数f(x)(x∈R)是以4为周期的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln(x2－x＋b)．若函数f(x)在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b的取值范围是()A．－1b≤1B．14≤b≤54C．－1b1或b＝54D．14b≤1或b＝54[答案]D[解析]本题考查函数的性质，考查数形结合与转化思想，难度较大．由周期性f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又由奇偶性可得f(－2)＝－f(2)，∴－f(2)＝f(2)，∴f(2)＝0，f(－2)＝0，又f(0)＝0，故若函数在区间[－2,2]内存在5个零点，只需x∈(0,2)时，f(x)＝ln(x2－x＋b)只有一个零点即可，即方程x2－x＋b＝1在区间(0,2)内只有一根，可转化为y＝b，y＝－x2＋x＋1在x∈(0,2)上只有一个交点，结合图形可得－1b≤1或b＝54，同时考虑定义域的限制，x∈(0,2)，x2－x＋b0恒成立得b14，综上可得b的取值范围是14b≤1或b＝54，故选D．[易错警示]本题易忽视函数f(x)＝ln(x2－x＋b)在区间(0,2)上有意义而错选C.10．(文)(2015·东北三省四市联考)定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：①对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则下列函数不是M函数的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x－1C．f(x)＝ln(x2＋1)D．f(x)＝x2＋1[答案]D[解析]利用排除法求解．函数f(x)＝x2≥0，x∈[0,1]，且x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，所以f(x)＝x2是M函数，A选项正确；函数f(x)＝2x－1≥0，x∈[0,1]，且x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，所以f(x)＝2x－1是M函数，B选项正确；函数f(x)＝ln(x2＋1)≥0，x∈[0,1]，且x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1时，x1x2≤(x1＋x22)2≤14，所以[(x1＋x2)2＋1]－(x21＋1)(x22＋1)＝x1x2(2－x1x2)≥0，则f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝ln[(x1＋x2)2＋1]－ln(x21＋1)－ln(x22＋1)＝lnx1＋x22＋1x21＋x22＋≥0，所以f(x)＝ln(x2＋1)是M函数，C选项正确；对于函数f(x)＝x2＋1，x1＝x2＝12满足条件，此时f(x1＋x2)＝f(1)＝2f(x1)＋f(x2)＝52，所以f(x)＝x2＋1不是M函数，D选项错误，故选D．(理)(2015·福州市质检)若函数f(x)满足：∀x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|成立，则称f(x)∈Ψ.对于函数g(x)＝x3－x，h(x)＝1＋x，x0，cosx，x≥0有()A．g(x)∈Ψ且h(x)∈ΨB．g(x)∈Ψ且h(x)∉ΨC．g(x)∉Ψ且h(x)∈ΨD．g(x)∉Ψ且h(x)∉Ψ[答案]C[解析]对于函数g(x)＝x3－x，因为g′(x)＝3x2－1，故x∈[－1,1]时，g′(x)∈[－1,2]，即∃x1，x2∈[－1,1]，使得|g(x1)－g(x2)||x1－x2|，故g(x)∉Ψ.在同一直角坐标系中分别作出y＝h(x)，y＝x，y＝－x的图象如图所示，观察可知∀x1，x2∈[－1,1]，|hx1－hx2|x1－x2|≤1，即|h(x1)－h(x2)|≤|x1－x2|，故h(x)∈Ψ.综上所述，故选C.11．(文)(2015·济南模拟)若至少存在一个x(x≥0)，使得关于x的不等式x2≤4－|2x－m|成立，则实数m的取值范围为()A．[－4,5]B．[－5,5]C．[4,5]D．[－5,4][答案]A[解析]本题考查函数的图象与性质、数形结合思想．至少存在一个x≥0，使得不等式|x－m2|≤2－12x2成立，即函数f(x)＝|x－m2|与g(x)＝2－12x2的图象存在横坐标是非负数的公共点．在同一坐标系下画出函数g(x)＝2－12x2与y＝|x|的图象，结合图象可知将y＝|x|的图象向左平移到经过点(0,2)这个过程中的相应曲线均满足题意，即－4≤m≤0；将y＝|x|的图象向左平移到直线y＝－x＋m2与抛物线y＝2－12x2相切的过程中的相应曲线均满足题意，设相应的切点横坐标是x0，则有－x0＝－1，x0＝1，切点坐标是(1，32)，于是有32＝－1＋m2，得m＝5，所以0≤m≤5.因此满足题意的实数m的取值范围是[－4，5]，故选A.(理)(2015·东北三省四市联考)若对于∀x，y∈[0，＋∞