【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题7 解三角形(含解析)

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题7解三角形一、选择题1．(文)(2015·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.1010B.31010C.55D.255[答案]B[解析]由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a×5a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝31010.[方法点拨]解三角形的常见类型：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的讨论．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.(理)(2015·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA＝223，a＝2，S△ABC＝2，则b的值为()A.3B.322C．22D．23[答案]A[解析]由已知得：cosA＝13，S△ABC＝12bcsinA＝12bc×223＝2，∴bc＝3，又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝23，解得b＝c＝3，选A.2．(2015·南昌市一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝1，B＝45°，cosA＝35，则b等于()A.53B.107C.57D.5214[答案]C[解析]因为cosA＝35，所以sinA＝1－cos2A＝1－352＝45，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45cos45°＋35sin45°＝7210.由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝17210×sin45°＝57.3．(文)若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．(理)(2015·合肥第一次质检)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2C2＋12，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形[答案]B[解析]依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋12，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋12＝3－2sin2A2，解得sin2A＝12，因此sinA＝22，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝π4，△ABC是等腰直角三角形，故选B.[易错分析]本题易犯的主要错误是不能对所给恒等式进行有效化简、变形，由于公式应用错误或者化简过程的盲目性导致化简过程无效，这是很多考生在此类问题中常犯的错误．事实上，含有边和角的恒等式，一般方法是实施边和角的统一，如果边化角后无法运算，则可以尝试角化边．反之，如果角化边较繁，则可以尝试边化角，平时训练时就要注意归纳小结．[方法点拨]判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手．4．(文)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3[答案]D[解析]由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac得，a2＋c2－b2ac·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac得，2cosB·tanB＝3，即sinB＝32，∴角B的值为π3或2π3，故应选D.(理)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为()A.13B．－13C.223D．－223[答案]A[解析]由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝13.[方法点拨]给出边角关系的一个恒等式时，一般从恒等式入手化边为角或化角为边，再结合三角公式进行恒等变形，注意不要轻易对等式两边约去同一个因式．5．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33[答案]C[解析]由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.(理)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.1010B.105C.31010D.55[答案]C[解析]本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cosπ4＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴AC＝5，由正弦定理，ACsinB＝BCsinA，∴sinA＝BCsinBAC＝3×225＝31010.6．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为()A．x≤yB．xyC．xyD．x≥y[答案]C[解析]y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC0，∴y－x0，∴yx.7．(2015·昆明市质检)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为c2，且a2＋b2＝22ab，则C＝()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]B[解析]由已知得：S△ABC＝12absinC＝12×c×c2，∴sinC＝c22ab，又由余弦定理得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝22ab－c22ab＝2－c22ab＝2－sinC，即sinC＋cosC＝2，∴2sinC＋π4＝2，∴sinC＋π4＝1，C＋π4＝π2，C＝π4.8．(文)(2015·郑州市质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝7，C＝π3，则△ABC的面积是()A.334B.736C.213D.334或736[答案]D[解析]由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝π2，则B＝π6，b＝73＝213，∴S△ABC＝12bc＝12×213×7＝736；若∠A≠π2，则sinB＝3sinA，由正弦定理得：b＝3a，又由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋9a2－3a2＝7a2，∴a＝1，b＝3，S△ABC＝12absinC＝12×1×3×32＝334，选D.(理)(2015·衡水中学三调)已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋2sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于()A.9＋334B.6＋324C.326－24D.36－324[答案]A[解析]根据正弦定理及sinA＋2sinB＝2sinC得a＋2b＝2c，c＝a＋322，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋9－a2＋62a＋1846a＝a8＋34a－24≥2a8·34a－24＝6－24，当且仅当a8＝34a，即a＝6时，等号成立，此时sinC＝6＋24，S△ABC＝12absinC＝12×6×3×6＋24＝9＋334.二、填空题9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．[答案]153[解析]设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝12×6×10×sin120°＝153.[方法点拨]有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．10．(文)(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．[答案]23[解析]本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝12×23×2＝23.(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．[答案]－14[解析]∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，又∵b－c＝14a，∴b＝34a，c＝12a，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝916a2＋14a2－a22×34a×12a＝－14.11．(2015·南京二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则BD→·BC→的值为________．[答案]277[解析]利用余弦定理求出AC的长度，再利用面积公式求出BD，最后利用数量积的定义求解．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以AC＝7，由△ABC的面积公式可得12×2×3×32＝12×7BD，解得BD＝337.所以BD→·BC→＝BD→·(BD→＋DC→)＝|BD→|2＝277.[方法点拨]解答三角函数与平面向量交汇的题目，先运用向量的有关知识(平行、垂直、数量积的坐标表示等)脱去向量外衣再运用三角函数知识解决．或先利用三角函数或解三角形的有关知识求出需要的量(边的长度、角的大小)再进行向量运算．三、解答题12．(文)(2015·新课标Ⅰ文，17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[分析](1)本小题可先利用正弦定理，根据题设得出三角形的三条边长之间的关系，再利用余弦定理求出cosB；(2)本小题中已知角B为直角，利用勾股定理列出方程，再结合(Ⅰ)中a、c的关系式求出边长c，即可求出△ABC的面积．[解析](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2.所以△ABC的面积为S△ABC＝12ac＝1.(理)(2015·山西太原市一模)已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．[解析](1)∵c＝2，C＝π3，由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面积等于3，∴12absinC＝3，∴ab＝4，联立a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2