九年级数学下册 第28章 锐角三角函数课件

第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数28.1.1三角函数的定义课前预习1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则tanA的值为（）A.B.C.D.2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.7cotα3.已知锐角α，且sinα=cos37°，则α等于（）A.37°B.63°C.53°D.45°35453443DCC4.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，B=13，则sinB的值等于．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，那么cosA的值为．121335课堂精讲知识点1正弦的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比是一个固定值．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA=.A=ac的对边斜边注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，它没有单位，当角的度数确定时，其比值随之确定，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关．(2)sinA是一个完整的符号，不能写成“sin·A”，书写时习惯省略∠A的角的符号“∠”，但当用三个大写字母表示角时(如∠ABC)，其正弦应写成sin∠ABC，不能写成sinABC.sin2A表示(sinA)2，即sinA·sinA，而不能写成sinA2．(3)在直角三角形中，因为Oac，所以由正弦的定义可知OsinA1．【例1】在Rt△ABC中，∠A=90°，求sinC和sinB的值．解析：利用勾股定理求出BC，再由锐角三角函数值的定义求出sinC和sinB的值．解：在Rt△ABC中，BC==，∴sinC=；sinB=．22ABAC3453434ABBC33434ACBC变式拓展1.如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是.22知识点2余弦、正切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA,即cosA=；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=.A=bc的邻边斜边A=Aab的对边的邻边注意：(1)余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值．(2)余弦、正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)cosA，tanA是整体符号，不能写成cos·A，tan·A.cos2A和tan2A分别表示(cosA)2和(tanA)2，即cosA·cosA和tanA·tanA，而不能写成cosA2和tanA2．(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如cos∠ABC，tan∠ABC.(5)因为Obc，所以OcosA1．因为a0，b0，所以tanAO.【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求∠A,∠B的余弦值和正切值．解析：先用勾股定理求出AC的长，再用余弦和正切的定义求值．解：∠C=90°，AC==4．cosA=，tanA=，cosB=，tanB=.222253ABBC45ACAB34BCAC35BCAB43ACBC变式拓展2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosB=．3.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于．4513知识点3锐角三角函数的定义对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数，同样的，cosA，tanA也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是么A的锐角三角函数.注意：(1)锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，sinx、cosx、tanx都是以锐角x为自变量的函数，当x确定后，它们的值都是唯一确定的．也就是说，锐角三角函数值随角度的变化而变化．(2)锐角三角函数都不可取负值.【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的锐角三角函数数值．解析：利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的三角函数列式即可．解：由勾股定理得，AC==12，sinA=，cosA=，tanA=．2222135ABBC513BCAB1213ACAB512BCAC变式拓展4.已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，求∠A的锐角三角函数值．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，∴AB2=AC2+BC2=289，∴AB=17，∴sinA=，cosA=，tanA=.817BCAB1517ACAB815BCAC随堂检测1.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A.cosA=B.tanA=C.sinA=D.cosA=acbaacabC2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（）A.B.C.D.3.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的.锐角为α，tanα=，则t的值是（）A.1B.1.5C.2D.3第2题第3题4.随着锐角α的增大，cosα的值（）A.增大B.减小C.不变D.增大还是减小不确定532555223BCC313135.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求sinB的值．35解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=∴CD=3在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3∴AC==4在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5∴AB=∴sinB=．35222253ADCD22224541ACBC44414141ACAB28.1.2特殊角的三角函数3+1309.44DB课前预习1.sin45°的值是（）A.B.1C.D.2.已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（）A.B.C.D.3.计算：2sin60°+tan45°=．4.Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则∠A=°.5.用科学计算器计算：8+sin56°≈．（精确到0.01）12322212223233323课堂精讲知识点130°、45°、60°角的三角函数值及有关计算利用勾股定理和锐角三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的三角函数值锐角三角函数30°45°60°sincostan1232332222132123熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．注意：(1)要会借助两个基本直角三角形，如图所示，推导30°、45°、60°角的三角函数值.(2)上表的含义是会求30°、45°、60°的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.【例1】计算：（1）.（2）2cos30°+tan60°-2tan45°·tan60°.4sin302cos45+6tan60解析：根据特殊角三角函数值，可得答案2解：（1）把sin30°=，cos45°=tan60°=，tan45°=1代入原式得=4×-×+×=122234sin302cos45+6tan601222631+32（2）把cos30°=，tan60°=tan45°=1代入原式得2cos30°+tan60°-2tan45°•tan60°=2×+-2×=0．1232333变式拓展1.计算：sin45°+tan45°-2cos60°．2.计算：sin260°-tan30°•cos30°+tan45°.21212111122解：原式=233331511232424解：原式=知识点2用计算器求锐角三角函数值或根据锐角三角函数值求锐角掌握利用计算器求锐角三角函数值的方法，熟练使用计算器是做题的关键.【例2】用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″.解析：本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°=0.7314；(2)sin12°30′=0.2164；(3)cos25°18′=0.9003；(4)tan44°59′59″=1.0000.变式拓展3.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数.（1）sinA=0.7，sinB=0.01；（2）cosA=0.15，cosB=0.8；（3）tanA=2.4，tanB=0.5．解：（1）由sinA=0.7，得A=44.4°；由sinB=0.01得B=0.57°；（2）由cosA=0.15，得A=81.3°；由cosB=0.8，得B=36.8°；（3）由tanA=2.4，得A=67.4°；由tanB=0.5，得B=26.5°．随堂检测1.sin30°对应数值的绝对值是（）A.2B.C.D.2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，已知a=1，b=1，c=，则sinA=.1223232123232BB22113.314.用科学计算器计算：sin87°≈（精确到0.01）5.计算：.6.（2015•茂名一模）计算：6tan230°-sin60°-2sin45°.211+2cos45sin30tan60解：原式=313223323解：6tan230°-sin60°-2sin45°233263232212228.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形课前预习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，sinB=，则AB的长为（）A.6B.C.D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A.B.C.D.23.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a：b=.23251813131213135552551223AC3：54.等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正弦值为．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，则c=．1213sinAa课堂精讲知识点解直角三角形1.一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）．(2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积．2.直角三角形的边角关系如图所示，在Rt△ABC中，∠A，∠B为锐角，∠C=90°，它们所对的边分别为a，b，c，其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：(1)三边之间的关系：（勾股定理）．(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．(3)边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=.(4)如果∠A=30°，那么或．222abcacbcabba2ca2ca3.解直角三角形的类型与解法归纳：(1)在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后先确定锐角，再确定它的对边和邻边．(2)运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：①锐角之间的关系：∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形：，，.③