九年级数学下册 第一章直角三角形的边角关系 1 从梯子的倾斜程度谈起第2课时习题课件 北师大版

1从梯子的倾斜程度谈起第2课时1.理解正弦和余弦的意义,能够运用sinA，cosA表示直角三角形两边的比.(重点)2.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.(重点)3.用函数的观点理解正弦、余弦和正切.(难点)1.正弦、余弦的定义观察下图：【思考】(1)△AB1C1和△AB2C2相似吗？为什么？提示：相似，∵∠A=∠A,∠AC1B1=∠AC2B2=90°，∴△AB1C1∽△AB2C2.(2)吗？吗？为什么？提示：由相似三角形的对应边成比例可知它们成立.112212BCBCABAB等于1212ACACABAB等于1122121212BCBCACACABABABAB，，(3)如果改变B2在AB1上的位置或改变AB1的倾斜角的大小，上述结论_____(填“成立”或“不成立”).成立(4)梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系？提示：的比值越大，梯子越陡；的比值越小，梯子越陡.112212BCBCABAB1212ACACABAB【总结】(1)正弦、余弦的定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的_____与_____的比也随之确定，这个比叫做∠A的正弦，记作_______；∠A的_____与_____的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦，记作______.对边斜边sinA邻边斜边cosA(2)梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系：如果梯子与地面的夹角为∠A，那么sinA的值_____，梯子越陡；cosA的值_____，梯子越陡.越大越小2.锐角三角函数的定义.锐角A的_____、_____和_____都是∠A的三角函数.正弦余弦正切(打“√”或“×”)(1)一个锐角的三角函数值一定小于1.()(2)一个锐角的正弦值大于这个角的余弦值.()(3)任何一个锐角都有其对应的三角函数值.()(4)一个锐角的三角函数值确定，那么这个锐角也确定.()(5)sinA表示sin与A的乘积.()(6)在Rt△ABC中，∠C=90°,则()××√√×ACcosA.AB√知识点1锐角三角函数的求值【例1】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.(1)求的值.(2)若BD＝10，求sinA的值．ADAB【解题探究】(1)①△AED与△ACB相似吗？为什么？提示：相似.∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB.②根据上面的探究，如何求出的值？提示：ADABADDE31AEDACB.ABBC93∽，(2)①因为△ABC中，∠C＝90°，BC=9，所以要求sinA的值，需要知道哪条线段的长？提示：需要知道AB的长.②请求出①中要求线段的长是多少？提示：∴AB=AD+BD=5+10=15.根据上面的探究可知AD1BD10AB3，＝，AD1AD5.AD103，＝BC93sinA.AB155＝【互动探究】在上面的问题中，求sinA的值时，还可以把∠A放在哪个三角形中？为什么？提示：可以把∠A放在△ADE中，因为∠AED=∠C=90°，DE＝3，且能求出AD的长.【总结提升】利用定义求锐角三角函数值的三点注意1.必须在直角三角形中求解.2.并不是只有直角三角形中的角才有三角函数值，任何一个锐角都有其对应的三角函数值，若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先构造直角三角形，再求出相应角的三角函数值.3.锐角三角函数值是两条边的比，没有单位.知识点2锐角三角函数的应用【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，CD=8，如果求AB的长．3sinBCD5，【思路点拨】先在Rt△BDC中，由求出BC的长，再在Rt△ABC中，由求出AB的长.3sinBCD53sinAsinBCD5【自主解答】在Rt△BDC中，∴设BD=3x，则BC=5x，在△BCD中，由勾股定理得：BD2+CD2=BC2,即(3x)2+82=(5x)2，解得x1=2，x2=-2(舍去)，∴BC=5x=10.∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴在Rt△ABC中，3sinBCD,5BD3BC5，3sinAsinBCD5，BC310350AB.AB5AB53，，【总结提升】锐角三角函数的两个应用和两点注意两个应用：(1)已知一个锐角的三角函数值，求直角三角形的边长或两条边的比.(2)已知一个锐角的某一个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值.两点注意：(1)锐角三角函数值都是正数，且都揭示了直角三角形的边角关系.(2)锐角三角函数经常与勾股定理结合使用.题组一：锐角三角函数的求值1.(2013·温州中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是()【解析】选C.3434A.B.C.D.4355BC3sinA.AB5【变式备选】(2013·广东中考)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=______.【解析】∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，答案：2222ACABBC345BC4sinAAC5，．452.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为()123ABCD1222．．．．【解析】选C．设BC=m，则AB=2m，根据勾股定理得AC=22AC3m3ABBC3msinB.AB2m2－，3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于()【解析】选A.如图，根据勾股定理得，则5531A.B.C.D.5222OA5，AC15sinAOB.AO554.(2013·湖州中考)如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB的值为______．【解析】∵Rt△ACB中，∠C=90°，AB=13，AC=12，答案：22BC5BCABAC5cosB.AB13－，5135.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD∶AB=2∶5，AB=BC，求sinB．【解析】如图，过A作AE⊥BC于E，则∠AEB=∠AEC=90°．∵AD∶AB=2∶5，AB=BC，∴设AD=2k，则AB=BC=5k(k＞0)．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°-∠D=90°．∴∠D=∠C=∠AEC=90°．∴四边形AECD是矩形．∴CE=AD=2k．∴BE=BC-CE=3k，在Rt△AEB中，由勾股定理得：(5k)2-(3k)2=AE2,解得：AE=4k．AE4k4sinBAB5k5．题组二：锐角三角函数的应用1.(2013·杭州中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，则斜边上的高等于()3sinA5，64481612A.B.C.D.252555【解析】选B.通过可得出如图，过点C作AB边的垂线交AB边于点D，则根据sinB=得出3sinA,AB4,5412sinB,BC55，CD412,BC,BC5548CD.252.如图，△ABC中，则△ABC的面积是()23cosBsinCAC5,25＝，＝，21AB12C14D212．．．．【解析】选A.作AD⊥BC,又设则AB=2x，∵AB2=BD2+AD2,∴4x2=2x2+9，(舍去).∴BD=3,ADsinC,AC5,AC22AD3,AD3,DC=ACAD=4552BD2cosB,,2AB2BD2x，123232xx22，ABC1121SBCAD433.222△3.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定【解析】选A.设三边长度扩大前则三边长度扩大后的正弦值为即三边长度扩大前后sinA的值不变.13asinA,c3aasinA,3cc4.(2013·鞍山中考)△ABC中，则BC的长为______．【解析】∵答案：3C90AB8cosA4，，，ACcosAAB，3ACABcosA864，2222BCABAC8627．27【变式备选】在△ABC中,则AC的长为()A.6B.4C.D.【解析】选B.2C90AB6,sinB,3，25352AC22sinB,,ACAB43AB33．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．(1)求sinα,cosα,tanα的值.(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．【解析】在Rt△ACD中，(1)(2)在Rt△ABC中，∵∠B=∠CAD=α,∴BD=BC-CD=4-1=3.22AC2DC1ADACCD5.，，CD15AC225CD1sin,cos,tan.AD5AD5AC2551AC1tanBtan,2BC2，21,BC4,BC2【想一想错在哪？】在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求sinA的值.提示:漏掉了BC为斜边,∠A为直角的情况!