九年级数学下册 第三章圆 3 圆周角和圆心角的关系第2课时习题课件 北师大版

3圆周角和圆心角的关系第2课时1.圆周角定理的两个推论及其应用.(重点、难点)2.理解两个推论的“题设”和“结论”.(难点)1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的关系【思考】(1)如图，∠ABC，∠ADC,∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？提示：都是圆周角，它们所对的弧都是AC.(2)∠ABC，∠ADC,∠AEC的大小有什么关系？为什么？提示：相等.连接AO,CO【总结】在同圆或等圆中，同弧或_____所对的圆周角_____，都等于它们所对的弧所对_______的一半.1ABCADCAECAOC.2等弧相等圆心角2.直径与90°的圆周角的关系(1)直径所对的圆周角是_____.(2)90°的圆周角所对的弦是_____.所对的弧是_____.直角直径半圆(打“√”或“×”)(1)等弧所对的圆周角相等.()(2)同圆中，等弦所对的圆周角相等.()(3)同弧所对的圆周角相等.()(4)相等的圆周角所对的弧也相等.()(5)90°的角所对的弦是直径.()√×√××知识点1同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的关系【例1】(2012·梅州中考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.(1)求证：△ADE∽△BCE.(2)如果AD2=AE·AC，求证：CD=CB.【解题探究】1.要证△ADE∽△BCE,由已知可以得到哪些角相等？为什么？提示：(1)∠A=∠B.∵∠A,∠B所对的弧都是∴∠A=∠B.(2)∠AED=∠BEC(对顶角相等)2.由AD2=AE·AC可以得到什么样的比例式？提示：(答案不惟一，正确即可)DC，ADACAEAD3.由2中的比例式，可以得到△ADE与△ACD有什么关系？为什么？提示：△ADE∽△ACD.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD.4.由3可得∠DEA=_____,故CD=CB.ADAC,AEAD90°【总结提升】同弧或等弧所对的圆周角相等的运用根据“同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等”,由弧找角,由角找弧,是证明弧相等或角相等常用的思维方法,构造同弧或等弧所对的圆周角是常作的辅助线.知识点2直径与90°的圆周角的关系【例2】已知CO，CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角坐标系的x轴、y轴分别交于点B、点A，若∠COB=45°，∠OBC=75°，点A(0,2),求⊙O′的直径.【思路点拨】作辅助线AB，可得Rt△AOB，由已知可得∠OCB=60°,进而求得Rt△AOB中∠OAB=60°,则直径AB可求.【自主解答】连接AB,∵CO为⊙O′的弦，∴O为⊙O′上的一点.∵∠AOB=90°，∴AB为⊙O′的直径.∵∠BOC=45°，∠OBC=75°，∴∠OAB=∠OCB=180°-45°-75°=60°．∴∠ABO=90°-60°=30°.∵A点坐标为(0，2)，∴AO=2．在Rt△AOB中，AB=2AO=4.【总结提升】直径和圆周角1.在圆中,若有直径时,构造直径所对的圆周角得直角是常用的添加辅助线的方法；条件中有90°的圆周角时,一般用该圆周角所对的弦是直径.2.在解题时注意勾股定理、垂径定理、以及三角形相似的应用.题组一：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的关系1.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的大小关系是()A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3B.∠4＜∠1=∠3＜∠2C.∠4＜∠1＜∠3＜∠2D.∠4＜∠1＜∠3=∠2【解析】选B.由圆周角定理可知∠1=∠3=∠AMB=∠ACB，由三角形的外角性质可知∠4＜∠ACB，∠AMB＜∠2，所以∠4＜∠1=∠3＜∠2.2.如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，若S△ACP∶S△DBP=16∶9，则AC∶BD=___________.【解析】由图可知∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP,∴AC∶BD=4∶3.答案：4∶322ACPDBPSACAC16,SBDBD9△△（）即（），3.如图,A,P,B,C是半径为8的☉O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,(1)求证:△ABC是等边三角形.(2)求圆心O到BC的距离OD.【解析】(1)∵∠ABC=∠APC,又∵∠BAC=∠APC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∠ACB=60°,∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形.(2)连接OB,如图,则易得∠OBD=30°,∠ODB=90°,1ODOB4.2题组二：直径与90°的圆周角的关系1.(2013·宜昌中考)如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是()A.ADBDB.AFBFC.OFCFD.DBC90【解析】选C.∵DC是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，又∵AB⊥CD于F，∴AF=BF，∴A，B，D正确.ADBD，2.(2013·日照中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连接BD，DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是()A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D.BC＝2AD【解析】选D.∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，故A正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，BD为公共边，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠A=∠C，又∵∠AED=∠C，∴∠AED=∠A，∴△ADE是等腰三角形，故C正确.∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴△AED∽△ACB，即AE·AB=AC·AD，又即AC2=2AB·AE，故B正确.BC不一定等于AC，故D不一定成立.AEADACAB，211ADACACAEAB22，，3.(2013·佛山中考)图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=______．【解析】∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠AOB=30°，CA∥OB,∴∠OAC=∠OCA=∠AOB=30°，又CA∥OB,∴∠BOD=∠OCA=30°.答案：30°4.(2013·淄博中考)如图，AB是⊙O的直径，BD=4，则sin∠ECB=______．ADDEAB5，，【解析】连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∠DAE=∠DBA.∵AB=5，BD=4，∴AD=3.设CD=3k，AC=5k，则AD=4k，答案：ADDE,AD3sinDAEsinDBAAB5，AD4sinECBsinDCA.AC5455.(2013·黔西南州中考)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.(1)求证：CB∥PD.(2)若BC=3，求⊙O的直径.3sinP5，【解析】(1)∵∠D=∠1,∠1=∠C,∴∠D=∠C,∴CB∥PD.(2)连接AC，如图，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，又∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴AB=5，即⊙O的直径为5.3BCBDPAsinAsinP.5，，BC3sinA,BC3AB5而，【想一想错在哪？】已知A,B,C三点都在☉O上,若☉O的半径为4cm,弦BC为4cm,求∠A的度数.提示:本题只考虑了圆心O在△ABC内的情况,没考虑圆心O在△ABC外的情况.