九年级数学下册 第三章圆 3 圆周角和圆心角的关系第1课时习题课件 北师大版

3圆周角和圆心角的关系第1课时1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用.(重点、难点)2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性.(难点)1.圆周角的定义：顶点在_____，两边分别与___还有另一个交点的角.2.圆周角定理如图①，当圆心O在圆周角的一边上时，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.又∵∠BOC=∠OAC+∠OCA,圆上圆1BACBOC.2【思考】(1)如图②，当圆心O在圆周角的内部时，∠BAC与∠BOC的上述关系是否还成立？为什么?提示：成立.理由如下：作直径AD.由图形可知：同理：即1BADBOD.21CADCOD.211BADCADBODCOD.221BACBOC.2(2)如图③，当圆心O在圆周角的外部时，∠BAC与∠BOC的上述关系是否还成立？为什么?提示：成立，理由如下：作直径AD.由图形可知：同理：即1BADBOD.21CADCOD.211CADBADCODBOD,221BACBOC.2【总结】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____.一半(打“√”或“×”)(1)顶点在圆心的角叫做圆心角.()(2)顶点在圆周上的角叫做圆周角.()(3)圆周角的度数是圆心角的一半.()(4)劣弧所对的圆周角都是锐角，优弧所对的圆周角都是钝角.()(5)一条弧所对的圆周角为50°，则它所对的圆心角为100°.()√××√√知识点1圆周角及圆周角定理【例1】(2013·昭通中考)如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=()A.28°B.42°C.56°D.84°【思路点拨】找出∠BAD所对的弧所对的圆心角∠BOD,结合已知条件∠ABC=28°，可知∠ABC所对的弧所对的圆心角∠AOC的度数，进而确定∠BOD，再求出∠BAD.【自主解答】选A.因为AB，CD是⊙O的两条直径，所以OB=OC，所以∠ABC=∠BCD=28°，因为∠BCD，∠BAD都是弧BD所对的圆周角，所以∠BAD=∠BCD=28°.【总结提升】圆周角与圆心角的区别与联系名称关系圆心角圆周角区别顶点顶点在圆心上顶点在圆周上个数在同圆中,一条弧所对的圆心角惟一在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个联系位置两边都和圆相交大小关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半知识点2圆周角定理的应用【例2】如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB＝40°,∠APD＝65°.(1)求∠ABD的大小.(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长.【解题探究】1.连接OC，∠CAB和∠CDB各是什么角？有什么关系？你能求出∠CDB的度数吗？提示：∠CAB和∠CDB都是圆周角，它们所对的弧所对的圆心角都是∠COB，所以1CABCDBCOB40.22.∠APD和∠CDB,∠ABD有怎样的关系？提示：∠APD是△BPD的外角，有∠APD=∠CDB+∠ABD.3.由2可求出∠ABD=______-______=_____-_____=_____.4.过点O作OE⊥BD于E,则OE＝__，由垂径定理可知，BE___DE.∵OA＝OB，∴线段OE是△ABD的_______，∴AD＝____＝__.∠APD∠CDB65°40°25°3＝中位线2OE6【总结提升】圆周角定理一条弧所对的圆周角有无数个,但它们与圆心角的位置关系,归纳起来,只有三种情况：(1)圆心在圆周角的一边上.(2)圆心在圆周角的内部.(3)圆心在圆周角的外部.以上三种情况,圆周角定理都成立,证明圆周角定理成立的过程,体现了由特殊到一般的数学思想方法.圆周角定理成立的前提是“在同圆中,并且圆周角和圆心角对应同一条弧”,不能简单表达为“圆周角等于圆心角的一半”.题组一：圆周角及圆周角定理1.(2013·滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为()A.156°B.78°C.39°D.12°【解析】选C.根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，所以1BACBOC39.22.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是______.【解析】圆周角∠ABC与圆心角∠AOC对着同一条弧，∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=25°，所以∠AOC=50°．答案：50°3.如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有____个圆周角，分别是________________.【解析】图中共有6个圆周角,分别是∠ACB，∠ACE，∠BCE，∠BDE，∠CED，∠CBD.答案：6∠ACB，∠ACE，∠BCE，∠BDE，∠CED，∠CBD4.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为__________.【解析】连接OD,∵∠ABD=55°,∴∠AOD=2∠ABD=110°,又∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=70°，答案：35°1BCDBOD352．5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A，B的读数分别为86°，30°,则∠ACB的大小为_____.【解析】设半圆的圆心为O,连接OA,OB,则圆心角∠AOB=56°,因此圆周角答案：28°1ACB5628.26.(2013·黔西南州中考)如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为__________.【解析】连接OA，OC，则∠COB=2∠BAC=40°，∠AOC=2∠CDA=40°，所以∠AOB=80°，所以∠ABO=(180°-80°)÷2=50°.答案：50°题组二：圆周角定理的应用1.如图，A,B,C在⊙O上，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为()A.40°B.30°C.50°D.60°【解析】选C.在⊙O中，OA＝OB，所以∠ABO＝∠BAO＝40°，所以∠AOB＝100°，所以1ACBAOB502＝＝2.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠ABC=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°【解析】选C.因为∠BOD=100°，所以∠OAD=50°，又因为∠ABC=60°，所以∠C＝180°-60°-50°＝70°.3.如图,点O为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D=________.【解析】由圆周角的性质可得,答案：27°1ABCAOC54,21BDBC,DBCDABC27.2ACB4.在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠ADC的度数.【解析】∵在⊙O中，D为圆上一点，∴∠AOC=2∠ADC.∴∠EOF=∠AOC=2∠ADC.在四边形FOED中，∠CFD+∠ADC+∠DEO+∠FOE=360°,∴90°+∠ADC+90°+2∠ADC=360°,∴∠ADC=60°.5.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是上一点(不与C,D重合)，试判断∠CPD与∠COB的大小关系，并说明理由.(2)P′是上一点(不与C,D重合)，试判断∠CP′D与∠COB有什么关系？并证明你的结论.CADCD【解析】(1)∠CPD=∠COB.连接OD.∵AB是直径，AB⊥CD，(2)∠COB+∠CP′D=180°.∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°.11COBDOBCOD,CPDCOD22CPDCOB.，【变式备选】点A,B,C在⊙O上，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是()A.80°B.160°C.100°D.80°或100°【解析】选D.如图：①若点O在△AB1C内部，②若点O在△AB2C外部(在△AB1C内部)，∵四边形AB1CB2内接于⊙O，∴∠AB2C＋∠AB1C＝180°，此时，∠AB2C＝180°－80°＝100°.11ABCAOC802＝＝；【想一想错在哪？】在半径为R的圆中，有一条弦分圆周为1∶2两部分，则弦所对的圆周角为____________.提示：弦所对的圆周角有两个，忽略了优弧所对的圆周角.