九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形

28.2.1解直角三角形及其应用第二十八章1课堂讲解已知两边解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图).在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m，因此sinA=利用计算器可得∠A≈5°28′.5200954545BC..AB.，我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题.类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.你能求出来吗？如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.1知识点已知两边解直角三角形探究：（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：ABCcba（1）三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.,sincaAA斜边的对边,coscbAA斜边的邻边.tanbaAAA的邻边的对边归纳利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素.已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．已知两直角边：应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形.解：∵∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，AB=2AC=2.266tan32，BCAAC2总结已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角互余求出第三个角．5151在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20;2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°3在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最适宜的做法是()A．计算tanA的值求出B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出2知识点已知一边及一锐角解直角三角形课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成35°时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为23.5米，那么你能求出旗杆AB的高度吗?归纳已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90°-∠A；②c=若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA..sint;anabAaA③例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.tanbBa，2028.6.tantan35baBsinbBc，2034.9.sinsin35bcB你还有其他方法求出c吗？总结已知一锐角和一边解直角三角形的方法：(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求出两条直角边；(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．71在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）∠B=72°，c=14；（2）∠B=30°，a=.2(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A.B．4C．8D．4433333在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a等于()A.B.C．6D.333323知识点已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形例3如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sinB＝，求BC的长．导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．224ABCD如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝∴BD＝∴CD＝∴BC＝CD＋BD＝解：24，22144，22222141.44ABAD22222302.44ACAD30143014.444=ABCD总结通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．1如图，在△ABC中，sinB＝，∠A＝105°，AB＝2，求△ABC的面积．2(2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝()A．4B．6C．8D．1022351.在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：（1）三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理）.（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.（3）边角之间的关系：sin,sinABAB的对边的对边正弦：斜边斜边cos,cosABAB的邻边的邻边余弦：斜边斜边tantanABABAB的对边的对边正切：，的邻边的邻边2.解直角三角形就是在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程.3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道两个元素（其中至少有一条边）就可以求出其余的三个元素.解直角三角形，是三角形知识的综合运用，它只有下面两种情况：一是已知两条边解直角三角形；二是已知一条边和一个锐角解直角三角形.