九年级数学下册 第29章几何的回顾29.2 反证法 课题学习：中点四边形课件 华东师大版

§29.2反证法课题学习：中点四边形1.通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2.了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3.在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动的探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了.小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了.”你能对小华的判断说出理由吗？小华的理由：假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的.我们可以把这种说理方法应用到数学问题上.解析：由∠C=90°可知△ABC是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a,b,c三边有何关系？为什么？ACBabc探究：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.ACBabc若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由.问题：【探究】这种证明方法与前面的证明方法不同，首先它是假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论正确.像这样的证明方法叫做反证法.例1.在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B≠∠C.ABC证明：假设，则（），这与矛盾．∴假设不成立．∴．∠B=∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C【规律方法】反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确.【例题】例2.求证：两条直线相交只有一个交点.已知：两条相交直线l1,l2.求证：l1与l2只有一个交点.l1l2A●证明：假设l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B,因为两点确定一条直线，即经过点A和B的直线有且只有一条，与已知两条直线矛盾.所以两条直线相交只有一个交点.l1l2A●B●A证明：如图假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,所以假设不成立.∴a//b.小结：根据假设推出的结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.例3.已知：有a,b,c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b.abc例4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.即∠A60°,∠B60°,∠C60°，与三角形的三个内角和等于180°矛盾.所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.于是∠A+∠B+∠C60°+60°+60°=180°.点拨：至少的反面是没有！例5.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.l1l2l3Pl1l2l3P证明:假设l3与l2不相交,那么l3∥l2,因为已知l1∥l2，这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾.所以假设不成立,即求证的命题正确.所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,l1l2l3P1.试说出下列命题的反面：（1）a是实数.（2）a大于2.（3）a小于2.（4）两条直线平行.（5）最多有一个.2.用反证法证明“若a2≠b2,则a≠b”的第一步是.3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是_____________________________.a不是实数a小于或等于２a大于或等于２至少有两个两条直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形【跟踪训练】4.已知：如图,△ABC中，D,E两点分别在AB和AC上.求证：CD、BE不能互相平分.EDCBA（平行四边形对边平行）,证明：假设CD,BE互相平分,连结DE，故四边形BCED是平行四边形,∴BD∥CE这与BD,CE交于点A矛盾,∴假设错误,∴CD,BE不能互相平分.已知：在梯形ABCD中，AB//CD，∠C≠∠D.求证：梯形ABCD不是等腰梯形.证明：假设梯形ABCD是等腰梯形,∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两内角相等）,这与已知条件∠C≠∠D矛盾,假设不成立.∴梯形ABCD不是等腰梯形.5.求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形.ABCD6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC.求证：PB≠PC.ABCP证明：假设PB=PC.在△ABP与△ACP中AB=AC(已知）AP=AP（公共边）PB=PC（已知）∴△ABP≌△ACP（S.S.S.),∴∠APB=∠APC(全等三角形对应角相等）.这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.∴PB≠PC.（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）以“至多”“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（3）关于“唯一性”结论的命题.（4）一些不等量命题的证明.（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等(如平行线的传递性的证明）.1.通过本节内容的学习，可以用反证法的题型.【规律方法】2.注意:用反证法证题时,应注意的事项.（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏.（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性.（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.假设结论的反面正确推理论证得出结论反设归谬结论得出矛盾（已知条件、公理、定理等）假设不成立，原命题成立.反证法证明真命题的方法直接证法间接证法反证法抓住今天，你就会前进一步；丢弃今天，你就会停滞不动.