九年级数学下册 第27章相似 27.2相似三角形 3相似三角形的周长与面积习题课件 新人教版

27.2.3相似三角形的周长与面积1.掌握相似三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)的比等于相似比.(重点)2.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.(难点)3.能应用相似三角形的性质进行证明或计算及解决简单的实际问题.(重点、难点)一、相似三角形中重要线段的比【总结】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于_______.相似比二、相似图形周长的比与面积的比已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.【思考】(1)△ABC与△A′B′C′周长的比和相似比k有何关系？提示:∵△ABC∽△A′B′C′,∴=k,∴AB=______,BC=________,AC=________,ABBCACABBCACkA′B′kB′C′kA′C′ABC____________ABCABBCAC△的周长△的周长ABBCACkABBCACkABkBCkACk.ABBCACABBCAC(2)△ABC与△A′B′C′的面积之比和相似比k有何关系？提示:若CD，C′D′分别是AB，A′B′边上的高，则=k.∴S△ABC=AB·CD,S△A′B′C′=A′B′·C′D′.CDCD12122ABCABC1ABCDSABCD2k.1SABCDABCD2△△(3)对于两个相似的多边形，可以转换为相似三角形的问题，得到它们的周长的比与面积的比.【归纳】1.相似三角形的周长比等于______，面积比等于相似比的平方.2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似比（打“√”或“×”）（1）两个相似三角形的相似比为3，则它们面积的比为6.（）（2）如果把一个多边形的各边都扩大5倍，则这个多边形的面积扩大25倍.（）（3）△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△DEF与△ABC的周长之比为4∶9.（）×√×知识点1相似图形的周长与面积【例1】(2013·内江中考)如图,在□ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF︰S△ABF=4∶25,则DE∶EC=()A.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶2【思路点拨】平行四边形性质→AB∥CD→△DEF∽△BAF→的值→的值.【自主解答】选B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF，∴DEABDEEC2DEFBAFSDE4(),SAB25△△＝＝DE2DE2DE2.AB5DC5EC3＝，＝，＝【总结提升】相似图形的周长与面积的计算1.常见图形结构：“A”型图与“X”型图，应用平行线构造相似三角形，常与平行四边形联系在一起.2.解题关键：一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比和相似比的关系；二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积之间的相等关系.知识点2相似三角形中的重要线段【例2】如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E，F两点分别在AB，AC上，AD交EF于点H.（1）求证：（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值.AHEF.ADBC【思路点拨】(1)矩形的性质→EF∥BC→△AEF∽△ABC→结论.(2)相似的性质→AH与EF的关系→列函数关系式→配方求最大值.【自主解答】(1)∵四边形EFPQ是矩形,∴EF∥QP,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.又∵AD⊥BC,∴AH⊥EF,AHEF.ADBC(2)由(1)得,∴AH=x,∴EQ=HD=AD-AH=8-x,∴S矩形EFPQ=EF·EQ=x(8-x)=-x2+8x=-(x-5)2+20.∵-0,∴当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.AHx810454545454545【总结提升】运用相似三角形对应边上高的比的两注意1.图形：相似三角形对应边上高的比常见图形如下，即三角形中存在一个矩形.2.方法：习惯上，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解.题组一:相似图形的周长与面积1.三角形的一条中位线将这个三角形分成两部分，这两部分中较小部分与较大部分的面积之比是()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3【解析】选B.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，较小部分是三角形，与原三角形相似，相似比是1∶2，它们的面积比是1∶4，故较小部分与较大部分的面积比是1∶3．2.已知两个相似三角形的相似比为2∶3,面积之差为25cm2,则较大三角形的面积为()A.45cm2B.50cm2C.65cm2D.75cm2【解析】选A.因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,则根据已知条件知这两个相似三角形的面积比为4∶9,因此,可设这两个三角形的面积分别为4k和9k,再由已知可得9k-4k=25,解出k=5,则较大三角形的面积为45cm2.3.如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN∶S四边形ANME等于()A.1∶5B.1∶4C.2∶5D.2∶7【解析】选A.由△NDM∽△NBC,M为DE的中点,ND∶NB=DM∶BC=1∶4,所以ND∶DA=ND∶DB=1∶3,则S△DMN∶S△DAE=1∶6,故S△DMN∶S四边形ANME=1∶5.4.(2012·宜宾中考)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E,F分别为AB,AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为()A.B.C.D.1217141516【解析】选C.连接BD,得EF为△ABD的中位线,故△AEF∽△ABD,S△ABD=4S△AEF,由AB=2CD且AB∥CD得S△ABD=2S△BCD,∴S梯形ABCD=6S△AEF,故△AEF与多边形BCDFE的面积比为1∶5,故选C.5.(2013·重庆中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为()A.4∶3B.3∶4C.16∶9D.9∶16【解析】选D.∵△ABC∽△DEF，且相似比为3∶4，∴△ABC与△DEF的面积比为32∶42，即△ABC与△DEF的面积比为9∶16.6.(2013·台州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且,则S△ADE∶S四边形BCED的值为()A.1∶B.1∶2C.1∶3D.1∶4【解析】选C.因为,∠A=∠A,所以△ADE∽△ACB且相似比为1∶2,所以面积比为1∶4,所以S△ADE∶S四边形BCED的值为1∶3.3AEAD1ABAC2AEAD1ABAC27.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A′B′C′的最大边长为26,求△A′B′C′的面积S.【解析】设△ABC的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,则AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠C′=∠C=90°.∴又BC=5,AC=12,∴B′C′=10,A′C′=24.∴S=A′C′×B′C′=×24×10=120.BCACAB131,BCACAB2621212题组二:相似三角形中的重要线段1.两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶8【解析】选A.∵两个相似三角形对应高之比为1∶2，∴两个相似三角形的相似比为1∶2，∴它们对应中线之比为1∶2.2.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是()A.mB.mC.mD.m【解析】选C.相似三角形的对应边上高的比等于相似比，，即解得P到AB的距离=m.566765103ABPABCDPCD到的距离到的距离2PAB,53到的距离653.已知，△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.【解析】∵△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴,即解得EH=3.2cm.BCBGEFEH64.8.4EH【想一想错在哪？】已知:如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比.(2)如果S△AEF=6㎝2,求S△CDF.提示:面积的比等于相似比的平方.