九年级数学下册 第27章二次函数复习课件 华东师大版

第27章单元复习课一、二次函数的概念1.定义形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.2.由二次函数的定义可知二次函数必须满足三个条件：(1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数必须是2；(3)二次项的系数不为0，一次项系数b和常数项c可以为任意实数.3.二次函数定义的应用与二次函数定义有关的问题的应用有两个方面，解题的关键是理解二次函数的概念：一是根据定义判断函数的类型，在判断时要先把函数化成一般形式，再严格按照定义，对含有字母系数的二次函数，着重看二次项的系数是否为零；二是根据二次函数的定义，求某些字母的取值范围，解题的关键是根据次数构建关于所求字母的方程，然后求解.注：(1)利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的函数，应特别留意二次项的系数是否为0.(2)根据实际问题列函数关系式时，要注意自变量的取值范围需保证使实际问题有意义.二、二次函数的图象及其性质1.二次函数y=ax2的图象及其性质(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)①当a＞0时,图象位于x轴的上方,抛物线开口向上,顶点为其最低点;在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；②当a＜0时,图象位于x轴的下方,抛物线开口向下,顶点为其最高点；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；(3)①当a＞0时,函数y=ax2有最小值，最小值是0；②当a＜0时,函数y=ax2有最大值，最大值是0.注：应用函数图象及其性质时，要注意数与形的有机结合，特别是利用函数的图象解决问题时，需充分考虑抛物线的对称性.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质(1)几种特殊的二次函数图象的特征函数关系式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+k当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下x=0(0,k)y=a(x-h)2x=h(h,0)y=a(x-h)2+kx=h(h,k)(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)图象a＞0a＜0函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)性质①抛物线开口向上①抛物线开口向下②对称轴是直线顶点是③当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大③当x＜时,y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小④抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，y最小值=④抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，y最大值=bx2a，2b4acb(,)2a4ab2ab2ab2ab2ab2a24acb.4ab2a24acb.4a3.系数a,b,c与二次函数的图象(1)a决定开口方向及开口大小当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小;(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线故：①b=0时，对称轴为y轴;②＞0(即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧;③＜0(即a,b异号)时，对称轴在y轴右侧.bx2a，baba(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c).即①c=0，抛物线经过原点；②c＞0，与y轴交于正半轴;③c＜0，与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.4.二次函数图象的平移规律平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移的过程中，图象的形状、开口方向必相同，即a不变，所以抛物线y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结为：“上加下减，左加右减”，平移时具体的对应关系可以用下列框图来表示：三、二次函数的相关计算1.求抛物线的顶点、对称轴的方法：(1)公式法：∴顶点是,对称轴是直线222b4acbyaxbxca(x),2a4a2b4acb(,)2a4abx.2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的关系式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.将关系式y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式，其基本步骤是：①提取二次项的系数，把二次项的系数化为1(注意与一元二次方程中配方法的区别)；②对上面的二次函数的二次三项式配方，即加上一次项系数一半的平方，配方时不能改变原式的值；③写成y=a(x-h)2+k的形式.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x1,y)、(x2,y)，则对称轴方程可以表示为：12xxx.22.求二次函数关系式(1)二次函数关系式常用的有三种形式①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)恰当地选择二次函数的表达形式求关系式求解二次函数关系式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数关系式的表达形式：①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，然后组成三元一次方程组来求解.②当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式.③当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与x轴一个交点和对称轴时，通常设为交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).注：(1)用待定系数法求解二次函数的关系式，题目给出的方式比较灵活，除上述三种方式外，往往还结合函数的性质提供一些条件.如①抛物线的形状相同(形状相同的两个抛物线的二次项的系数相同或互为相反数，在解题时要注意，防止漏解)；②与坐标轴的交点坐标所围成的三角形的面积；③依据函数增减性，通过增减性的不同确定抛物线的对称轴，再设为顶点式求解；④结合函数的图象平移给出某些点的坐标；⑤应用函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，借助方程的解给出条件.(2)不论应用何种形式设关系式，最后求得的结果一般化为一般形式.(3)当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件.四、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系(1)“数”的角度：当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时，相应的自变量的值即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.(2)“形”的角度：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2.2.抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关系：(1)有两个交点⇔b2-4ac＞0;(2)有一个交点(顶点在x轴上)⇔b2-4ac=0;(3)没有交点⇔b2-4ac＜0.注：根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与x轴的交点个数，如a＞0，顶点在x轴的上方，则抛物线与x轴没有交点.3.应用二次函数图象求方程的近似根的步骤(1)根据方程确定与方程有关的二次函数；(2)画出二次函数的图象；(3)初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大体范围；(4)在初步估值确定的范围内，从小到大或从大到小依次取值，借助计算器探索，确定近似值.4.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.(5)一次函数y=kx+n(k≠0)的图象l与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象G的交点，由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解⇔l与G有两个交点；②方程组只有一组解⇔l与G只有一个交点；③方程组无解⇔l与G没有交点.2ykxnyaxbxc，(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，由于x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，故x1+x2=x1·x2=b,ac,a221212121222ABxx(xx)(xx)4xxb4cb4ac().aa|a||a|五、应用二次函数解决实际问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型，它的应用体现的核心问题是数学建模思想的应用，解题的关键是准确理解题意，建立合适的函数模型.解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用函数关系式表示它们之间的关系；(4)计算或求解，并应用函数的性质作出判断；(5)检验结果的合理性.注：1.不能选择恰当的函数关系式表示实际问题中的数量关系；2.利用二次函数解决实际问题时，对题意理解不清，导致无法列出正确的函数关系式；3.不考虑自变量的取值范围，所求最值与实际不符；4.易把求最大值和最小值的公式与一元二次方程的求根公式相混.实际问题实际问题的解决二次函数y=ax2+bx+c(a0)二次函数与一元二次方程的关系二次函数的图象与性质关系式图象性质平移规律二次函数的对称轴及顶点坐标【相关链接】确定二次函数对称轴及顶点坐标的两种方法1.公式法：对称轴是直线顶点坐标是2.配方法：将二次函数通过配方化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,对称轴为x=h,顶点坐标是(h,k)．bx2a，2b4acb(,);2a4a【例1】(2012·烟台中考)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法：①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x＜3时,y随x的增大而减小，则其中说法正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【思路点拨】根据抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质进行判断.【自主解答】选A.∵2＞0，∴图象的开口向上，故①错误;图象的对称轴为直线x=3，故②错误;其图象顶点坐标为(3,1)，故③错误;当x＜3时，y随x的增大而减小，④正确.综上所述，说法正确的有④，共1个.确定函数关系式【相关链接】待定系数法主要用于确定二次函数的关系式1.当已知抛物线上任意三点坐标时,可以通过设函数关系式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)进行求解;2.当已知抛物线顶点坐标、对称轴或最值时,可以通过设函数关系式为y=a(x-h)2+k(a≠0)进行求解;3.如果已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)(x2,0)时，可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)进行求解.【例2】(2012·佳木斯中考)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)写出顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB=3,求点B的坐标.【思路点拨】(1)(2)(3)【自主解答】(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c得解得所以解析式为y=x2-2x.(2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点为(1,-1).对称轴为直线x=1.c042b0，，b2c0,，(3)设点B的坐标为(m,n)，则解得n=3或n=-3,∵顶点纵坐标为-1,-3＜-1(或x2-2x=-3中，x无解)∴n=3,∴x2-2x=3