九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 3求二次函数的关系式课件 华东师大版

3.求二次函数的关系式确定二次函数关系式的方法1.当已知抛物线上任意三点的坐标时，通常设二次函数的关系式为一般式y=______________，然后列出_______________,解三元一次方程组得出a，b，c的值，从而求得二次函数的关系式.ax2+bx+c(a≠0)三元一次方程组2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点的坐标时，通常设顶点式y=_________,求解二次函数的关系式.3.当已知抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2,0)或与x轴交点的横坐标为x1,x2时，通常设交点式y=_____________,求解二次函数的关系式.【点拨】根据不同的条件选择不同函数关系式形式.a(x-h)2+ka(x-x1)(x-x2)【预习思考】求函数解析式时，二次项系数a取值要注意什么？提示：注意二次项系数a的取值不能为零.确定y=ax2+bx+c的关系式【例1】(8分)(2012·泰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B，C两点.(1)求该二次函数的函数关系式；(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.易错提醒:在列方程组时注意函数关系式中的符号.22yxbxc3【规范解答】(1)由题意可得，点C的坐标为(0，2)，点B的坐标为(2，2).……………………………………………………1分∵二次函数的图象经过B，C两点，∴…………………………………4分∴二次函数的关系式为…………………5分22yxbxc314432b3ccb2，，，224xx23y.3(2)令y=0，则解得x=-1或x=3，所以抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1，0)，(3，0).……7分结合函数图象，当y＞0时，-1＜x＜3.………………………8分224xx2033，【规律总结】确定二次函数关系式的四个步骤1.设：按已知条件设出二次函数关系式的相关形式.2.列：根据题意列出方程或方程组.3.解：解方程或方程组.4.定：确定函数关系式.【跟踪训练】1.一个二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则这个二次函数的关系式是()(A)y=-10x2+x(B)y=-10x2+19x(C)y=10x2+x(D)y=-x2+10x【解析】选D.由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式为y=ax2+bx，将B,C两点坐标代入，得，解得:则函数关系式为：y=-x2+10x.ab11,ab9,a1,b10,2.(2012·无锡中考)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为___________.【解析】设抛物线的关系式为y=a(x-2)2+1，由抛物线过点B(1，0)，可得a=-1，所以y=-x2+4x-3.答案：y=-x2+4x-33.已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1，-4)，且经过点(2，-3)．将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的关系式.【解析】设该二次函数的关系式为：y=a(x-1)2-4．∵经过点(2，-3)，∴-3=a(2-1)2-4，∴a=1.∴二次函数的关系式为y=x2-2x-3.令y=0，x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3.∴该二次函数的图象向左平移3个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点.此时，图象顶点为(-2，-4),∴平移后图象对应的二次函数的关系式为y=(x+2)2-4.建立坐标系求实际问题中的函数关系式【例2】某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米.现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？【解题探究】(1)如何建立平面直角坐标系使二次函数的函数关系式简单?答:以C为坐标原点建立平面直角坐标系可以使二次函数关系式简单,如图所示:(2)请根据(1)中的坐标系确定A,B,C三点的坐标:A(-2,-4.4),B(2,-4.4),C(0,0).(3)设函数的关系式为:y=ax2.(4)求出抛物线的关系式:∵抛物线过点B(2,-4.4),∴-4.4=a·22,∴a=-1.1,∴y=-1.1x2.(5)∵装货宽度为2.4米,∴当x=1.2时,y=-1.1×1.22=-1.584,∴|y|=1.584,∴此时点(1.2,-1.584)到AB的距离为4.4-1.584=2.8162.8,∴能(填写“能”或“不能”)顺利通过.【规律总结】求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意1.三个步骤(1)建立合适的平面直角坐标系;(2)依据条件求出二次函数的关系式;(3)利用二次函数的关系式解决有关问题.2.两点注意(1)在建立直角坐标系时,原点与横轴的位置应适当,否则会给解题带来极大的不便.(2)列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围.【跟踪训练】4.巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是()222211(A)y(x)3(B)y3(x)12211(C)y8(x)3(D)y8(x)32212【解析】选C.根据图象知:抛物线开口向下,顶点∴答案B，D不符合.把点(0,1)代入答案A，C检验,该点满足C.1(,3),25.(2012·安徽中考)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.【解析】(1)当h=2.6时，y=a(x-6)2+2.6，∵(0,2)在该抛物线上，∴2=36a+2.6，解得(2)将x=9代入(1)中求得的关系式得y=2.45＞2.43，∴球能越过球网.当y=0时，解得：(舍去)，故球会出界.211ay(x6)2.6.6060，21(x6)2.6060，12x623918x6239＞，(3)由题知，当(0,2)和(18,0)在抛物线y=a(x-6)2+h上时解得∴当x=9时，此时球能越过球网.∴36ah2144ah0，，1a548h3，，218y(x6).5435y2.432＞，8h.31.(2011·泰安中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：则当x＝1时，y的值为()(A)5(B)-3(C)-13(D)-27x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353【解析】选D.通过观察表格可以发现(-3,5)是函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标，因而又可设二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a(x-h)2＋k，所以h=-3，k=5，即二次函数y＝ax2＋bx＋c=a(x+3)2＋5，又因二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(-2,3)，所以3=a(-2+3)2＋5，解得a=-2，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c=-2(x+3)2＋5.当x=1时，y=-2(1+3)2＋5=-27.2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y=-2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为()(A)y=-2x2-x+3(B)y=-2x2+4x+5(C)y=-2x2+4x+8(D)y=-2x2+4x+6【解析】选D.根据题意a=-2，所以设y=-2(x-x1)(x-x2)，求出解析式y=-2(x+1)(x-3)，即是y=-2x2+4x+6.3.(2011·舟山中考)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________.【解析】把点(－1，0)，(1，－2)代入y=x2+bx+c，得解得∴y=x2－x－2.∴二次函数的对称轴为∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x≥答案：x≥1bc0,1bc2,b1,c2,b11x.2a22－1.2124.抛物线的顶点为(2，3)且经过点(3，6)，则该抛物线的关系式是______________.【解析】依题意可设二次函数的关系式为y=a(x-2)2+3,又∵图象过点(3,6),∴6=a(3-2)2+3,∴a=3,∴y=3(x-2)2+3,即y=3x2-12x+15.答案：y=3(x-2)2+3(或y=3x2-12x+15)5.(2012·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的关系式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.【解析】(1)把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得解这个方程组，得所以函数关系式为4a2bc4,4a2bc0,c0,1a,b1,c0,221yxx.2(2)由可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB,∴OM=BM,∴OM+AM=BM+AM,连结AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小，过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中,AB=因此OM+AM的最小值为22111yxx(x1),2222222ANBN4442,42.