九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时1.掌握求二次函数y=ax2+bx+c的最值的方法.(重点)2.能够分析和表示实际问题中二次函数的关系,并能用函数知识解决实际生活中的最值问题.(重点、难点)1.求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值y=ax2+bx+c当a0时，a（x+___）2≥0,22ba(xx(____))_________cab2a2ba()2a2a(x___)______.b2a2b4ac4ab2a此时函数有最___值y=_________；当a0时，a(x+___)2___0，此时函数有最___值y=________.小2b4ac4ab2a≤大2b4ac4a【总结】求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法：（1）配方法：y=ax2+bx+c化为y=___________的形式，当自变量x=__时，函数y最大（小）=__.（2）公式法：由二次函数y=ax2+bx+c的性质可得，当自变量x=______时，函数y最大（小）=________.a（x-h）2+khkb2a24acb4a2.实际问题中求最值的一般步骤：（1）分析问题中的数量关系.（2）列出函数关系式.（3）研究由实际问题得出的函数，结合实际，解决问题.（打“√”或“×”）（1）抛物线y=(1+x)(3-x)有最小值4．（）（2）函数y=x2+2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是-3和-4.（）（3）用一块长64m的帆布，围一个表演马戏的矩形场地，则可围成的最大面积为256m2.（）××√知识点求实际问题中的最值【例】(2012·青岛中考)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式.(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式.(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.【思路点拨】(1)观察可得该函数是一次函数,设出一次函数关系式,把其中两点代入即可求得该函数关系式,进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同.(2)销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量.(3)根据进货成本可得自变量的取值,结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.【自主解答】（1）y是x的一次函数，设y＝kx＋b.因为图象过点(10，300)，(12，240)，所以∴y＝－30x＋600.当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，即点(14，180)，(16，120)均在函数y＝－30x＋600的图象上．∴y与x之间的函数关系式为y＝－30x＋600.10kb300k3012kb240b600.，－，解得，（2）w＝(x－6)(－30x＋600)＝－30x2+780x－3600，即w与x之间的函数关系式为w=－30x2+780x－3600.（3）由题意得6(－30x＋600)≤900，解得x≥15．w=－30x2+780x－3600图象的对称轴为∵a＝－30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥13时，w随x的增大而减小，又x≥15，∴当x＝15时，w最大=1350.即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.780x13230－，－【总结提升】利用二次函数求解实际问题(如最大利润等)时的注意事项1.解答要全面，有时需要分类讨论(如涨价与降价、投入与产出等).2.分清每件的利润与销售量，理清价格与它们之间的关系.3.自变量取值范围的确定，需保证实际问题有意义.4.一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图象分析.题组:求实际问题中的最值1.某商店经营某种商品,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元【解析】选B.∵y=-x2+24x+2956=-(x-12)2+3100,∴当x=12元时,y最大为3100元.2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6【解析】选B.结合二次函数的图象,∵-5≤x≤0,∴当x=-2时,函数有最大值,y最大=6;当x=-5时,函数值最小,y最小=-3.3.如图是某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱的示意图,其关系式为y=-x2+4x+2,则水柱的最大高度是()A.2B.4C.6D.【解析】选C.y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,∵-10,∴当x=2时,最大高度是6.264.某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.经过________s,火箭达到它的最高点.【解析】当火箭到达最高点时,即h达到最大值.h=-5t2+150t+10=-5(t-15)2+1135.∵-50,∴t=15时,h取得最大值,即火箭达到最高点.答案:155.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC的面积最小.【解析】设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Smm2,则有:=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.∵0t6,∴当t=3时,S取得最小值.答案:3ABCPBQ11SSS12244t(122t)22△△6.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需滑行________m才能停下来.【解析】根据题意得,飞机滑行停下了,求飞机的滑行距离,即求函数y=60x-1.5x2的最大值,y=-1.5(x2-40x)=-1.5(x-20)2+600≤600.答案:6007.(2013·滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体的形状,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)【解析】根据题意,得整理,得y=-20x2+1800x.∵y=-20x2+1800x=-20(x2-90x+2025)+40500=-20(x-45)2+40500,∵-200,∴当x=45时,函数有最大值,y最大值=40500,即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3.180y20x(x),28.某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件.根据市场调研,若每件每降价1元,则每天销售数量比原来多3件.现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数).在促销期间,商场要想每天获得最大销售毛利润,每件应降价多少元?每天最大销售毛利润为多少元?(注:每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)【解析】设促销期间每天销售L型服装所获得的毛利润为W元,由题意得:W=(20+3x)(60-40-x)=-3x2+40x+400因为x为正整数,所以当x=7时,每天销售毛利润最大,最大值为533.答:每件降价7元时,每天最大销售毛利润为533元.22016003(x),339.(2013·南充中考)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式.(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).由所给函数图象得解得∴函数关系式为y=-x+180.（2）W=（x-100）y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.当x=140时，W最大=1600.∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元.130kb50,150kb30.k1,b180.【想一想错在哪？】已知二次函数如果当1≤x≤a（a＞1）时，y的最大值恰好是a，则a=______.21yx112，提示:在确定a的值时,忽视了a1这个条件,导致出现错误.