九年级数学下册 第26章二次函数 26.1二次函数及其图象 2二次函数y=ax2的图象习题课件 新人

26.1.2二次函数y=ax2的图象1.探索二次函数y=ax2的图象的作法.(重点)2.根据二次函数y=ax2的图象理解y=ax2的性质(图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).(重点)3.能应用二次函数y=ax2的性质解决相关问题.(难点)观察函数y=x2,y=x2,y=2x2,y=-x2,y=-x2和y=-2x2的图象,找出它们的异同点:1212（1）函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于__轴对称，它的顶点坐标是______．（2）由y=x2,y=x2,y=2x2的图象，可知：当a0时，抛物线y=ax2开口_____，顶点是抛物线上位置_____的点，a越大，抛物线的开口越___.（3）类似地，由y=-x2,y=-x2和y=-2x2的图象，可知：当a＜0时，抛物线y=ax2开口_____，顶点是抛物线上位置_____的点，|a|越大，抛物线的开口越___.y(0，0)12向上最低小12向下最高小【归纳】1.二次函数y=ax2的图象及其性质：(1)图象:y=ax2(a≠0)的图象是一条_____,这条_____叫做抛物线.(2)对称性:抛物线y=ax2关于_____对称.(3)开口方向:当a0时,抛物线y=ax2开口_____;当a0时,抛物线y=ax2开口_____.曲线曲线y轴向上向下(4)顶点:抛物线与_______的交点,叫做抛物线的顶点.抛物线y=ax2的顶点是_____,当a0时,顶点是抛物线上位置_____的点;当a0时,顶点是抛物线上位置_____的点.(5)开口大小:|a|越大,抛物线的开口越___.2.二次函数y=ax2与y=-ax2(a0)的关系：(1)抛物线y=ax2与y=-ax2关于___轴对称.(2)抛物线y=ax2与y=-ax2关于_____成中心对称.对称轴原点最低最高小x原点(打“√”或“×”)(1)抛物线y=ax2,y=bx2,当ab时,抛物线y=ax2的开口大.()(2)抛物线y=(-x)2的开口向下.()(3)抛物线y=ax2(a≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个点的横坐标互为相反数.()3××√知识点1二次函数y=ax2的图象与性质【例1】函数是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m的值.(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?2mm4ym2x【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是__,二次项的系数不为__.由此得到关于m的方程组是____________解得m=___或m=____.(2)若抛物线有最低点,则抛物线的开口方向_____,所以二次项的系数_____零,由此确定符合条件的m值是___.在对称轴的___侧,即x___0时,y随x的增大而增大.2mm42,m20,2-3向上大于2右20(3)二次项的系数满足什么条件时,抛物线的开口方向向下?由此确定符合条件的m值是多少?在对称轴的哪一侧,y随x的增大而减小?提示:二次项的系数小于零时,抛物线的开口向下,所以,符合条件的m的值为-3,在对称轴的右侧,即x0时,y随x的增大而减小.【总结提升】二次函数y=ax2的“两关系四对等”1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔x0yxx0yx.＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小x0yxx0yx.＞时，随的增大而减小，＜时，随的增大而增大知识点2求二次函数y=ax2的解析式【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为m.【思路点拨】以C为坐标原点建立坐标系→设出抛物线解析式→把B点坐标代入解析式→求出解析式→把D,E纵坐标代入解析式→D,E横坐标→DE的长.【自主解答】以顶点C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设抛物线y=ax2,由题意得B(18,-9),把B(18,-9)代入y=ax2,得a×182=-9,解得a=-所以抛物线的解析式为y=-x2,当y=-9-7=-16时,-16=-x2,解得x=±24,∴DE=48m.答案:481.36136136【总结提升】解二次函数y=ax2的应用题的三步骤题组一:二次函数y=ax2的图象与性质1.抛物线y=x2不具有的性质是()A.对称轴是y轴B.开口向上C.当x0时,y随x的增大而减小D.有最高点【解析】选D.当a0时,抛物线开口向上,并且向上无限延伸,所以没有最高点,只有最低点.132.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关系式是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是()A.abcdB.abdcC.bacdD.badc【解析】选A.由图象可知a0,b0,c0,d0,且ab0,dc0.3.已知(x1,y1),(x2,y2)都在抛物线y=3x2上,下列说法正确的是()A.若y1=y2,则x1=x2B.若x1=x2,则y1=-y2C.若0x1x2,则y1y2D.若x1x20,则y1y2【解析】选D.对于y=3x2,当函数值相等时,根据对称性可知,其所对应的自变量的值相等或互为相反数,故A错误;当自变量的值相等时,函数值也相等,故B错误;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,故C错误;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故D正确.4.已知抛物线y=ax2(a0)上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),其中x1x20x3,且|x3||x1|,则y1,y2,y3之间的大小关系是.【解析】当a0时,抛物线的开口方向向下,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,所以y1y2;根据对称性可知,点(x3,y3)关于y轴的对称点在点(x1,y1)的左侧,所以y3y1.所以y3y1y2.答案:y3y1y2【高手支招】比较抛物线y=ax2(a≠0)上两点函数值大小的方法(1)当两点位于对称轴的同侧时,根据y随x的变化规律判断.(2)当两点位于对称轴的异侧时,根据开口方向和这两点距对称轴的距离的远近判断.5.已知是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【解析】依题意有:解②得:m1=-2,m2=1,由①得:m-1,∴m=1.此时,二次函数解析式为y=2x2.2mmym1x2m10mm2＞①，②，题组二:求二次函数y=ax2的解析式1.(2013·丽水中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-4,2)D.(4,-2)【解析】选A.将(-2,4)代入y=ax2,计算a的值,写出抛物线解析式,将选项逐一代入解析式验证即可知A正确.2.二次函数y=ax2与y=2x2的图象,开口大小、形状都相同,开口方向相反,则a=.【解析】由题意得|a|=2,因为二次函数y=ax2的图象开口向下,所以a=-2.答案:-23.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是s=v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车,此时刹车有危险(选填“会”或“不会”).【解析】把v=100代入函数关系式得s=10080,所以此时刹车会有危险.答案:会11004.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O).(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R,求证:PF=PR.【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),∵抛物线的顶点为坐标原点O,∴可设抛物线的解析式为:y=ax2,将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-x2.1414(2)如图,过点P作PG⊥y轴,垂足为G.连接PF.由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),∴GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,∵点P(a,b)为抛物线y=-x2上的动点,∴b=-a2,变形得:a2=-4b,在Rt△PGF中,由勾股定理可得:PF==|b-1|=1-b,∴PF=PR.1414222b1ab14b－【想一想错在哪？】已知A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)分别是抛物线y=(-a2-1)x2上的三个点,试比较y1,y2,y3的大小.提示:在对称轴的两侧,二次函数的增减性是不相同的.对称的两个点的函数值是相同的.