九年级数学下册 第3章圆 3.2点、直线与圆的位置关系 圆的切线 3.2.3三角形的内切圆课件 湘教

3.2.3三角形的内切圆1.掌握三角形内切圆的定义和画法.(重点)2.能利用三角形内切圆的内心的性质解决问题.(重点)三角形的内切圆如图,在△ABC中有一个☉I与AB,AC,BC都相切.【思考】(1)如何确定圆心I?提示:作△ABC任意两内角的平分线,交点即为圆心I.(2)圆心I到△ABC三边的距离有怎样的数量关系?提示:相等.【总结】1.三角形内切圆的相关概念:与三角形_____都_____的圆,叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的_____,三角形叫做圆的_____三角形.2.三角形的内心的位置:三角形三条_________的交点.3.三角形的内心的性质:到三角形三边的距离都_____.三边相切内心外切角平分线相等(1)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等.()(2)三角形的内切圆、外接圆都只有一个.()(3)三角形的外心和内心是同一个点.()(4)三角形的内心一定在三角形的内部.()××√√知识点三角形的内切圆及内心【例】已知:如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,D,E,F为切点,∠C是直角,AC=6,BC=8.求☉O的半径r.【解题探究】1.在Rt△ABC中，已知∠C是直角,AC=6,BC=8，请你求出斜边AB的长与△ABC的面积.答：斜边AB=______________________,S△ABC=_________.2222ACBC6810682422.(1)根据Rt△ABC三边的长求出过C点的切线长CF或CE.答：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴CE=___,AD=___,BD=___,设CE的长为x，则BE可表示为____，AF可表示为____.∴AB=AD+___=AF+___=____+____=14-2x=10,解得x=__，即CF=CE=__.CFAFBE8-x6-xBDBE6-x8-x22(2)探索CF与Rt△ABC的内切圆的半径r有什么关系.答：连结OE，OF.∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,E，F为切点，∴∠OFC=______=90°,又∠C=90°,OE=OF,∴四边形OECF为_______，∴CF等于Rt△ABC的内切圆的半径,即r=__.∠OEC正方形2【互动探究】例题已知条件不变,你能否根据内切圆的性质，利用面积求内切圆的半径？若能，怎样求？提示：能.连结OD，OE，OF，OA，OB，OC.∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,D，E，F为切点，∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD=OE=OF=r，∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,10r6r8r24r2.222，【总结提升】直角三角形内切圆的半径的两种求法已知直角三角形直角边为a，b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r.1.切线长定理：根据切线长定理推得a-r+b-r=c，即2.面积法：根据三角形的面积等于三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半，得即abcr.211ababcr22，abr.abc题组：三角形的内切圆及内心1.如图所示，一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.△ABC三条中线的交点处B.△ABC三边的中垂线的交点处C.△ABC三条角平分线的交点处D.△ABC三条高所在直线的交点处【解析】选C.三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.2.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()A.2B.3C.D.2【解析】选D．因为圆内切于正三角形，如图,连结AO及OD，可知AD＝CD，根据半径是1，可知AO＝2，根据勾股定理,得AD＝,所以AC＝2．33333.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则Rt△ABC的内切圆的半径是.【解析】在Rt△ABC中,根据勾股定理得:AB==5,设内切圆的半径为r,∴S△ABC=r(3+5+4)=6r,而S△ABC=×3×4=6,∴6r=6,∴r=1,答案:1223412124.已知等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是_____.【解析】如图，点O是三角形的外心，也是内心，则OC为外接圆的半径，OD为内切圆的半径.∴∠OCD=×60°=30°，∠ODC=90°，DC=×BC=2,答案：4π12122223243ODtan302,OC,3cos3034323S()()4.33圆环【归纳整合】三角形的内心与外心1.三角形的内心是三角形内切圆的圆心,三角形的外心是三角形外接圆的圆心.2.三角形内心是三角形各角的平分线的交点,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.3.三角形的内心到三角形各边的距离相等,三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.4.等边三角形的内心和外心重合.5.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形(△ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛.【解析】作∠ABC的平分线BD,作∠ACB的平分线CE,BD与CE交于点F,作FG⊥BC,垂足为G,以点F为圆心,FG为半径作☉F,则☉F是所求的面积最大的圆.6.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F.求证:BF=CE.【证明】∵AF,AE是☉O的切线,连结OF,OE,OA,∴∠OFA=∠OEA=90°,∵OE=OF,OA=OA,∴△AOF≌△AOE.∴AF=AE.又∵AB=AC,∴AB-AF=AC-AE,∴BF=CE.7.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不运动到M和C,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°.∴AF,BP都是☉O的切线.又∵PF是☉O的切线,∴FE=FA,PE=PB.∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6.【想一想错在哪？】如图,在△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=°.提示:I是内心,不是外心,要理解内心和外心的区别.