九年级数学下册 第3章圆 3.1圆 3.1.1 圆的对称性第1课时课件 湘教版

第3章圆3.1圆3.1.1圆的对称性(第1课时)1.理解圆的对称性及相关性质.(重点)2.能正确运用“垂直于弦的直径平分这条弦”解决问题.(重点、难点)1.观察图形，完成填空.线段OA绕______旋转_____所形成的图形就是圆，由旋转的性质可知，圆周上任一点到圆心的距离_____.(1)圆是平面内到一_____的距离等于_____的所有点组成的图形，这个_____叫做圆心，_____叫做半径.定点O一周相等定点定长定点定长(2)圆也可以看成是平面内一个动点绕一个_____旋转_____所形成的图形，_____叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.2.圆的有关概念.(1)弦:连结圆上任意两点的_____.(2)直径:经过_____的弦.(3)等圆:能够_____的两个圆.定点一周定点线段圆心重合3.圆的对称性.(1)圆是_________图形,即圆绕圆心旋转_____角度,都能与自身_____.特别地,圆是中心对称图形,_____是它的对称中心.(2)圆是轴对称图形,_____________所在的_____都是它的对称轴.4.垂径定理.如图,CD为☉O的直径,AB为弦.旋转对称任意重合圆心任意一条直径直线【思考】1.当CD⊥AB,垂足为E时,将圆沿直线CD对折,点A与点B重合吗?你会发现哪些相等的线段?提示:重合.AE=BE.2.你能证明AE=BE吗?提示:连结OA,OB,则OE为等腰△AOB底边上的高,∴AE=BE.【总结】_____于弦的直径_____这条弦.垂直平分(1)直径是弦.()(2)以点O为圆心只能作一个圆.()(3)圆是中心对称图形,圆心是对称中心.()(4)如图,在☉O中,当AC=BC时,OC⊥AB.()√×√√知识点1圆的定义及应用【例1】如图所示,AB是☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且AE=BF,请你找出线段OE与OF的数量关系,并给予证明.【思路点拨】作辅助线构造△OAE与△OBF,然后证明这两个三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.【自主解答】OE=OF.证明:连结OA,OB,∵OA=OB,∴∠OAE=∠OBF.又∵AE=BF,∴△OAE≌△OBF.∴OE=OF.【总结提升】圆的半径相等的两种应用1.利用半径相等为三角形全等提供相等的边.2.构造等腰三角形,不在同一直线上的两半径与弦长构成等腰三角形.知识点2圆的对称性有关性质的应用【例2】如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=10m,净高CD=7m,则此圆的半径OA是多少m?【解题探究】1.根据题意及图示，你能用数学符号语言表述对称性有关定理吗(假设CE为⊙O的直径)？提示：∵CE为⊙O的直径，CE⊥AB，ADBDACBCAEBE.，，2.如何根据对称性的有关定理求AD的长？提示：在⊙O中，AB=10m，∵OD⊥AB，∴AD==5m.3．设⊙O的半径OA为xm，请用代数式表示线段OD的长.提示：OD可表示为(7-x)m.AB24．应用对称性的有关定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到圆心的垂线段为边的直角三角形.利用勾股定理列方程求解，请你找出此直角三角形，并求解.提示：此直角三角形是Rt△AOD.在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即x2=(7-x)2+52，解得x=.即OA=m.377377【互动探究】若D点为弦AB上的一个动点，求线段OD的取值范围.提示：1237OD77【总结提升】对称性的有关定理基本图形的四变量、两关系1.四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.2.两关系：①()2+d2=r2；②h+d=r.a2题组一：圆的定义及应用1.半径为5cm的圆满足⊙O上的点到圆心的距离()A.大于5cmB.小于5cmC.不等于5cmD.等于5cm【解析】选D．根据圆的定义可得，⊙O可以看成是到定点O的距离等于定长r的点的集合.2.下列条件能确定圆的为()A.以已知点O为圆心B.经过已知点O，且半径长为2cmC.以2cm长的线段为半径D.以已知点O为圆心，2cm长的线段为半径【解析】选D.确定圆需要两个条件，圆心和半径.3.如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是()A.20°B.25°C.30°D.50°【解析】选B.∵AB和CD都是⊙O的直径，∴OC=OB，∴∠C=∠B.又∠C+∠B=∠AOC，∴∠C=∠AOC=25°．124.若P,M,N三点到点O的距离相等,即PO=MO=NO=2cm,那P,M,N这三个点在以点为圆心,以为半径的圆上.【解析】P,M,N这三个点在一个圆上.圆心是点O,半径的长度是PO的长度.答案:O2cm5.如图,∠AOB=60°,则△AOB是三角形.【解析】∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形.答案:等边6.如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.【证明】取BC的中点F,连结DF,EF.∵BD,CE是△ABC的高,∴△BCD和△BCE都是直角三角形.∴DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF.∴E,B,C,D四点在以点F为圆心,BC为半径的圆上.12【归纳整合】证明n点共圆的方法根据圆上各点到圆心的距离都相等,所以只需要证明这n个点到某一点O的距离相等即可,此时点O为圆心,任意一点到点O的距离为该圆的半径.题组二:圆的对称性有关性质的应用1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴【解析】选D.圆沿着过圆心的任意一条直线对折,两部分都能重合.2.(2013·温州中考)如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是()【解析】选B.在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，则BC=AB=2，A.3B.5C.15D.171222OBBCOC5.3.(2013·龙东中考)如图，⊙O的直径为10，两条弦AB⊥CD，垂足为E，且AB=CD=8，则OE=___.【解析】连结OA,OD.过点O分别作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F,G,∴AF=AB=4.∵AO=5，在Rt△AFO中，由勾股定理得同理OG=3.∴OF=OG.∵∠OFB=∠OGC=∠AED=90°，122222OFAOAF543.－－∴四边形OFEG是矩形.∵OF=OG，∴四边形OFEG是正方形.根据勾股定理得答案：22OE3332.324.(2013·西宁中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6,且AE∶BE=1∶3,则AB=_______.【解析】∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=DE=CD=3，连结OC，∵AE∶BE=1∶3,设AE=x,BE=3x,∴AB=4x,OA=OC=2x,∴OE=x,在Rt△COE中，CE2+OE2=OC2,∴32+x2=(2x)2,解得x=,∴AB=4.答案：4123335.(2013·漳州中考)如图,一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位:厘米).放在圆形玻璃杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿只有一个交点,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米.【解析】如图所示，设该圆的半径为x，则弦长为6，根据圆的对称性和勾股定理得OA2-OB2=AB2，即x2－(x－2)2=32，解得答案：13x.41346.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:△OCD是等腰三角形.【证明】过O点作OM⊥AB,垂足为M.则AM=BM.∵AC=BD,∴CM=DM.又∵OM⊥AB,∴OC=OD.∴△OCD是等腰三角形.【想一想错在哪？】若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.提示:漏掉点P在圆外的情况!