九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2菱形的性质与判定（第2课时）习题课件 （新版）北师大版

1菱形的性质与判定第2课时1.菱形的判定:(1)定义:有一组_____相等的平行四边形是菱形.(2)判定定理:①对角线_________的平行四边形是菱形.②_____相等的四边形是菱形.2.菱形的面积:菱形的面积等于两条对角线___________.邻边互相垂直四边乘积的一半【思维诊断】(打“√”或“×”)1.一组邻边相等,一组对边平行的四边形是菱形.()2.有一组邻边相等的四边形是菱形.()3.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.()4.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.()××√√知识点一菱形的判定与应用【示范题1】(2013·营口中考)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC外角的平分线,已知∠BAC=∠ACD.(1)求证:△ABC≌△CDA.(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【解题探究】(1)在△ABC和△CDA中,已知∠BAC=∠ACD,AC为公共边,还要证明什么条件,才能证明△ABC≌△CDA.提示:还要证明∠DAC=∠ACB.先由AB=AC,得到∠B=∠ACB,再根据三角形外角性质求出∠FAC=2∠ACB=2∠DAC,推出∠DAC=∠ACB,根据ASA证明△ABC和△CDA全等.(2)由∠B=60°,可得AB=BC,还要证明什么条件,才能证明四边形ABCD是菱形.提示:还要证明四边形ABCD是平行四边形,由已知条件推出AB∥CD,AD∥BC即可.【尝试解答】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,∵AD平分∠FAC,∴∠FAC=2∠CAD,∴∠CAD=∠ACB,∵在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA.BACDCA,ACAC,DACACB,(2)∵∠DAC=∠ACB(已证),∴AD∥BC,∵∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.【想一想】在本题中,当∠B=60°时,CD是△ABC外角的平分线吗?为什么?提示:CD是△ABC外角的平分线.∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠BAC=∠ACD=60°,∴∠DCE=60°,∴∠ACD=∠DCE,∴CD是△ABC外角的平分线.【微点拨】1.菱形的定义是常用的一种判定方法.2.仅有邻边相等或对角线垂直的四边形不一定是菱形.3.菱形的判定和性质常结合在一起应用.【方法一点通】菱形的常用判定方法已有条件需要条件平行四边形邻边相等对角线互相垂直每条对角线平分一组对角一般四边形四条边都相等对角线互相垂直平分对角线互相平分,且每条对角线平分一组对角注:因菱形的特殊性在边和对角线上,因此不论是菱形的性质还是判定,一般是从“边”和“对角线”的角度解题.知识点二与菱形面积有关的计算【示范题2】如图所示,已知菱形的周长为40cm,两对角线之比为3∶4.求菱形ABCD的面积.【思路点拨】根据菱形的性质,求出菱形的边长→根据勾股定理求出两条对角线的长度→根据菱形的面积公式S=ab(a,b分别为菱形的两条对角线的长度)求出结果.12【自主解答】∵菱形的周长为40cm,∴AB=10cm.∵AC∶BD=3∶4,∴AO∶BO=3∶4,∵AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,有OB2+OA2=AB2.设AO=3x,BO=4x,即(3x)2+(4x)2=100,∴x=2,∴OA=6cm,OB=8cm.∴AC=12cm,BD=16cm.S菱形ABCD=AC×BD=96(cm2).12【想一想】对角线互相垂直的四边形的面积是否都能用两对角线长度乘积的一半来计算?请举例说明.提示:可以,如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD.∵AC⊥BD,∴S△ABD=AO·BD,S△BCD=OC·BD,∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AO·BD+OC·BD=BD·(AO+OC)=BD·AC.121212121212【备选例题】(2013·安顺中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(1)求证:四边形BCFE是菱形.(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.【解析】(1)∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC,又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形,又∵BE=FE,∴四边形BCFE是菱形.(2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴菱形的边长为4,高为2,∴S菱形BCFE=4×2=8.333【方法一点通】菱形的面积公式(1)菱形的面积=底×高.(2)如果菱形两条对角线的长分别为a和b,那么菱形的面积=ab.12