八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形 1矩形的性质课件 （新版）华东师大版

第19章矩形、菱形与正方形19.1矩形1.矩形的性质1.了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别和联系.(重点)2.会用矩形的性质进行计算或证明.(重点、难点)一、矩形的定义有一个角是_____的平行四边形.二、矩形的性质在矩形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC与BD相交于点O.直角【思考】(1)由∠BAD=90°，可以推出∠ABC，∠BCD，∠CDA的度数分别为多少？提示：因为矩形是特殊的平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.(2)对角线AC，BD有怎样的数量关系？为什么？提示：AC=BD.在△ABD和△DCA中AD=AD，∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，∴△ABD≌△DCA，∴AC=BD.【总结】矩形的性质：(1)矩形具有___________的一般性质.(2)定理1：矩形的四个角都是_____.(3)定理2：矩形的对角线_____.(4)对称性：矩形既是_________图形，也是轴对称图形，对称轴为_____________的直线.平行四边形直角相等中心对称通过对边中点(打“√”或“×”)(1)矩形的对角线相等且互相平分.()(2)矩形的四个角都是直角.()(3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.()√√√知识点1矩形的性质【例1】(2013·宁夏中考)在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF=DC.【思路点拨】连结DE，四边形ABCD是矩形，DF⊥AE→∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90°→△DFE≌△DCE→结论.【自主解答】连结DE.∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°.∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.【总结提升】矩形的性质(1)矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等、角的相等提供了新的方法.(2)由边、角之间的相等关系，特别是有直角，可以将矩形中的问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题.(3)对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形，可以解决有关等腰三角形的问题.(4)矩形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图形的旋转和对折提供了依据.知识点2矩形性质的应用【例2】如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=10，AD=8，把纸片ABCD沿AF折叠，使点B恰好落在CD边E上.求折痕AF的长.【思路点拨】由对称性→AB=AE→由勾股定理→DE→EC→BF→AF.【自主解答】∵△AEF和△ABF关于直线AF对称，∴AE=AB=10，EF=BF，∠AEF=∠B=90°，在Rt△ADE中，AD=8，AE=10，根据勾股定理，DE=∴EC=10-6=4.在Rt△EFC中，EC=4，设BF为x，则FC=8-x，根据勾股定理，得方程(8-x)2+42=x2，解得x=5，即BF=5，∴AF=2222AEAD1086.2222ABBF10555.【总结提升】解决矩形中折叠问题的两个思路(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.(2)运用轴对称的性质，找出折叠前后相等的角、线段.题组一：矩形的性质1.(2013·宜昌中考)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是()A.8B.6C.4D.2【解析】选C．∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.2.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点.如果AC=10，BC=8，那么EF的长为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.∵∠ABC=90°，∴AB=∴CD=AB=6，∵点E，F分别是OD，OC的中点，∴EF=3.2222ACBC1086－－，3.(2013·资阳中考)在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=.【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5.答案：5124.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E.求证：AC=CE.【证明】∵BD∥EC，BE∥DC，∴四边形BDCE是平行四边形，∴BD=EC.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴AC=CE.5.如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF.求证：BE=CF.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB=OC=OD，AB=CD，∵AE=DF，∴OE=OF.在△BOE与△COF中，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF.OBOCBOECOFOEOF，，，题组二：矩形性质的应用1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为()A.8B.6C.4D.3【解析】选C.阴影部分的面积为2×4-4××2×1=4.122.如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是()A.88mmB.96mmC.80mmD.84mm【解析】选B.如图，把主板转化为一个矩形后，还多余2个4mm的边长，即主板的周长为2×(24+20)+4×2=96(mm).3.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F是AC上的三等分点，则△BEF的面积为()A.8B.12C.16D.24【解析】选A.因为△ABC的面积为×8×6=24．又因为E，F是AC上的三等分点．所以△BEF的面积为×24=8．12134.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BF∥DE.若AD=12cm，AB=7cm，且AE∶EB=5∶2.则阴影部分EBFD的面积为cm2.【解析】因为BF∥DE，AB∥CD，所以四边形BEDF是平行四边形，又AB=7cm，AE∶EB=5∶2，得EB=2cm，所以阴影部分面积为BE×AD=2×12=24(cm2).答案：245.如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD折叠，使C点落在E处，且BE与AD相交于点O.判定△OBD的形状，并说明理由.【解析】△OBD为等腰三角形.理由：根据对称性，∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∴∠EBD=∠ADB，∴OB=OD，∴△OBD为等腰三角形.【变式备选】在上面的题目中，保持条件不变，试判断△AOB和△EDO面积的大小，说明理由.【解析】△AOB和△EDO面积相等.理由：根据矩形的中心对称性，△ABD和△CDB面积相等.即S△ABD=S△CDB，即S△ABD=S△EDB，∴S△ABD-S△OBD=S△EDB-S△OBD，∴△AOB和△EDO面积相等.【想一想错在哪？】如图所示，□ABCD中，AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，边长为6，求这个平行四边形的面积.提示：观察图形时，误认为四边形为矩形而出现错误.