八年级数学下册 第2章 四边形2.2 平行四边形 2.2.2 平行四边形的判定第1课时习题课件 （新

2.2.2平行四边形的判定(第1课时)1.熟记平行四边形的两个判定定理.(重点)2.能应用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边形.(重点、难点)平行四边形的判定定理1.如图,将两根同样长的木条AB,CD平行放置,再用木条AD,BC加固,这样就得到一个四边形.2.如图四边形,是由木棒钉制而成的.【思考】(1)对于问题1,从图知看似是一个平行四边形.怎样说明它是一个平行四边形呢?提示:只需证明四边形的两组对边分别平行,根据平行四边形的定义即可判定.(2)你能说明问题1中四边形的形状吗?提示:能.连接AC,∵两根木条的长度相等,∴AB=CD,又因AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又因AC=CA,可证△ABC≌△CDA(SAS),故∠ACB=∠CAD,进而得AD∥BC,又已知AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.(3)对于问题2中,四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?提示:是.理由:连接AC,由图中可知AB=DC=30,BC=DA=40,又AC=CA,故由“SSS”得△ABC≌△CDA,又由三角形全等的性质得∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,故AB∥CD,AD∥CB.因此由平行四边形的定义知四边形ABCD是平行四边形.【总结】(1)平行四边形的判定定理1:一组对边___________的四边形是平行四边形.(2)平行四边形的判定定理2:两组对边_________的四边形是平行四边形.平行且相等分别相等(打“√”或“×”)(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.()(2)三条边分别相等的四边形是平行四边形.()(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.()(4)一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形.()(5)一组对边相等,且一组对角相等的四边形是平行四边形.()××√√×知识点1平行四边形判定定理1的应用【例1】(2012·泰州中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.【解题探究】(1)当四边形中已有一组对边平行,再添加什么条件就可证明这个四边形是平行四边形?提示:再添加这组对边相等或另一组对边平行,就可证明这个四边形是平行四边形.(2)由已知条件可知△EAD与△FCB有什么关系?为什么?提示:全等.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠FCB=90°.∵AE=CF,∴△EAD≌△FCB.(3)结合以上探究你能确定四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?提示:能.∵△EAD≌△FCB,∴AD=CB.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.【互动探究】把题目中的条件“AD∥BC”改为“AD=BC”,结论还成立吗?提示:成立.【总结提升】由一组对边平行且相等证平行四边形的几种情况1.已知四边形中一组对边平行,通过证明三角形全等再得这组对边相等,进而证明该四边形是平行四边形.2.已知四边形中一组对边相等,通过证明三角形全等,得角相等进而得这组对边平行,进而证明该四边形是平行四边形.知识点2平行四边形判定定理2的应用【例2】如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点.求证:(1)△ABE≌△CDF.(2)四边形BFDE是平行四边形.【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质和已知可证AE=CF,∠BAE=∠DCF,AB=CD,故根据SAS可证△ABE≌△CDF.(2)由(1)可证BE=DF,由已知可证DE=BF,故可证四边形BFDE是平行四边形.【自主解答】(1)在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,又∵点E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=CF,∵∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF,又∵点E,F分别是AD,BC的中点,∴DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形.【总结提升】由两组对边分别相等判定平行四边形的思路当在欲证为平行四边形的四边形中,有一组对边相等时,一般可思考证明这组对边平行,如果无法证明这组对边平行,则只需证另一组对边相等即可.题组一:平行四边形判定定理1的应用1.如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F点,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是()A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE【解析】选D.∵∠F=∠CDE,∴CD∥AF,在△DEC与△FEB中,∠DCE=∠EBF,CE=BE,∠CED=∠BEF,∴△DEC≌△FEB,∴DC=BF,∠C=∠EBF,∴AB∥DC.∵AB=BF,∴DC=AB,∴四边形ABCD为平行四边形.2.(2012·济南中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于.【解析】因为将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,平移距离为2,所以AD∥BE,AD=BE=2,所以四边形ABED是平行四边形,所以四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8.答案:83.已知如图,▱ABCD中,G,H是对角线DB上的两点,且DG=BH,DF=BE,四边形EHFG是平行四边形吗?为什么?【解析】四边形EHFG是平行四边形.理由:在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠DBA.又∵DG=BH,DF=BE,∴△DGF≌△BHE(SAS).∴GF=HE,∠DGF=∠EHB.∴∠FGH=∠EHG(等角的补角相等).∴GF∥EH.又∵GF=EH.∴四边形EHFG是平行四边形.4.(2013·梧州中考)如图,已知:AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证:四边形BECF是平行四边形.【证明】∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠DFC=90°,∵AB∥CD,∴∠A=∠D,在△AEB与△DFC中,∠AEB=∠DFC,AE=DF,∠A=∠D,∴△AEB≌△DFC(ASA),∴BE=CF.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CF.∴四边形BECF是平行四边形.5.已知,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.【证明】∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,∵CF=AE,EF=EF,∴AF=CE,在△ADF和△CBE中,DF=BE,∠DFE=∠BEF,AF=EC,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴AD=BC,∠DAC=∠BCA,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.题组二:平行四边形判定定理2的应用1.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选A.∵分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.2.如图,在由六个全等的正三角形拼成的图中,不重不漏的平行四边形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个【解析】选D.如图,可知,EF∥AD∥BC,ED∥FC∥AB,CD∥BE∥AF,有ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD,∴四边形EDGF,EDCG,FGBA,GCBA,EGAF,CDGB是平行四边形,共6个.3.如图,延长△ABC的中线AD至点E,使DE=AD,连接BE,CE,则四边形ABEC的形状为.【解析】易证△ABD≌△ECD,△EDB≌△ADC,故AB=CE,AC=BE,所以四边形ABEC是平行四边形.答案:平行四边形4.如图,在四边形PONM中,MO⊥ON于O,各边长在图中已标出,则四边形PONM是.【解析】在Rt△MON中,由勾股定理,得42+(x-5)2=(x-3)2,解得x=8,所以11-x=3,x-5=3,x-3=5,所以PM=ON,PO=MN.所以四边形PONM是平行四边形.答案:平行四边形5.若一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2(ac+bd),则这个四边形是.【解析】已知条件可变形为(a-c)2+(b-d)2=0,所以a=c,b=d,根据两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形.答案:平行四边形【想一想错在哪？】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在直线DE上,且AF=CE=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.提示:没有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形的判定方法,本题可用EF􀱀CA或EF=CA,AF=CE进行判定.