2021高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第1节 简单几何体的直观图、表面积与体积课件

第七章立体几何与空间向量第1节简单几何体的直观图、表面积与体积课程标准考情索引核心素养1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．3.知道棱柱、台、锥体、球的表面积与体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题.2019·全国卷Ⅰ，T122019·全国卷Ⅲ，T162018·全国卷Ⅲ，T32018·全国卷Ⅲ，T102017·全国卷Ⅰ，T161.数学建模2.直观想象3.数学运算1．空间几何体的结构特征2．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积计算公式项目圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积计算公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l(2)空间几何体的表面积与体积计算公式几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR33.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．1．正方体的棱长为a，球的半径为R.①若球为正方体的外接球，则2R＝3a.②若球为正方体的内切球，则2R＝a.③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3．棱长为a的正四面体，其高H＝63a，则其外接球半径R＝34H，内切球半径R＝14H.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(6)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．答案：C3．(人A必修2·习题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.答案：1∶47[典题体验]4．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π解析：设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，所以S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.答案：B5．(2020·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________．解析：因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为22.答案：226．(2020·华师附中模拟)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB.323πC．8πD．4π解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23，即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.答案：A考点1空间几何体的表面积与体积(自主演练)1．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析：分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.所以S底＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．答案：C2．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺解析：设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9.所以圆柱底面圆周长为2πr≈54，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺．答案：B3.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，则在△BHC中，BC边的高h＝22.所以S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，所以该多面体的体积V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案：A1．(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一个面上．(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解．2．求表面积其关键思想是空间问题平面化．考点2空间几何体的直观图(讲练互动)[典例]有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．解析：过点A作AE⊥BC于点E(图略)，在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝22.而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝22＋1.由此可还原直观图如图所示．在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝22＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′.所以这块菜地的面积为S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝121＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋221．画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．2．对直观图的考查有两个方向：一是已知原图形求直观图的相关量；二是已知直观图求原图形中的相关量．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．作E′F⊥A′B′于点F，因为OE＝（2）2－1＝1，所以O′E′＝12，E′F＝24.则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22.答案：22考点3与球有关的切、接问题(典例迁移)[典例](经典母题)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB.9π2C．6πD.32π3解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意．球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝9π2.答案：B[迁移探究]1．若典例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC-A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC-A1B1E1C1的外接球．所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.2．若典例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．解：如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AFO中，(4－r)2＋(2)2＝r2，解得r＝94，则球O的体积V球＝43πr3＝43×π×943＝243π16.1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通常是通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体．(1)利用2R＝a2＋b2＋c2求R.(2)确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解．考点4空间几何体的综合问题——识图与计算(讲练互动)[典例]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，其交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝12×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确.1．能够正确画出图形是解决问题的关键，特别是直观图的画法，要注意空间想象能力的培养．2．第(2)问求解要抓住两点：(1)清楚认识到分割的两部分是等高的棱柱；(2)正确计算底面梯形的面积．如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．解：12S球＝12×4π×22＝8π(cm2)，S圆台侧＝π(2＋5)×（5－2）2＋42＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．又因为V圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，V半球＝12×4π3×23＝16π3(cm3)，所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－16π3＝140π3(cm3)．