2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理

【知识重温】一、必记5个知识点1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于①____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②________，一般用字母d表示；定义的表达式为：③____________(n∈N*)．同一个常数公差an＋1－an＝d2．等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝④____________.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数．3．等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝⑤________.a1＋(n－1)da＋b24．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝⑥________，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝⑦_____________.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且无常数项．na1＋an2na1＋nn－12d5．等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am＝an＋(m－n)d或am－anm－n＝d.(m、n∈N*)(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝⑧_____，(p，q，m，n∈N*)．(3)d＞0⇔{an}是递增数列，Sn有最小值；d＜0⇔{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．(4)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd.(5)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列．2am(6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(7)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(8)S2n－1＝(2n－1)an.(9)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．二、必明2个易误点1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()×√×√√2．[2020·广州高三调研]在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝()A．2B．3C．－2D．－3解析：由题意可得a1＋d＝2，7a1＋7×62d＝56，即a1＋d＝2，a1＋3d＝8，解得a1＝－1，d＝3，选B.答案：B3．若等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1,2x＋3，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1解析：∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1,2x＋3，∴(x－1)＋(2x＋3)＝2(x＋1)，解得x＝0.∴a1＝－1，d＝2，∴an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.答案：B4．[2020·合肥检测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＝17，S8＝996，则a8＝________.A．174B．184C．191D．201解析：由题意可得S8＝8a1＋8×8－12×17＝996，∴a1＝65，∴a8＝a1＋7d＝184，故选B.答案：B5．[教材改编]在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________．解析：∵a1＝40，d＝37－40＝－3，∴an＝40＋(n－1)×(－3)＝－3n＋43，令an0，即－3n＋430，解得n433，故第一个负数项是第15项，即a15＝－3×15＋43＝－2.答案：－2考点一等差数列的基本运算[自主练透型]1．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：解法一设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－12d＝n2－4n.故选A.解法二设等差数列{an}的公差为d，∵S4＝0，a5＝5，∴4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D.故选A.答案：A2．[2020·山东淄博一中月考]在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则数列{an}的前8项和为()A．50B．70C．120D．100解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a11－a4＝21，∴7d＝21，∴d＝3，又a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴数列{an}的前8项和为100，故选D项．答案：D3．[2019·全国卷Ⅲ]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝a7－a34＝13－54＝2，∴a1＝a3－2d＝5－4＝1.∴S10＝10＋10×92×2＝100.答案：100悟·技法等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差为d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想.考点二等差数列的判定与证明[自主练透型][例1][2020·湖北检测]已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．(1)求证：数列ann是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝2an－15，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴an＋1n＋1－ann＝2，∴数列ann是等差数列，其公差为2，首项为2，∴ann＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝2an－15＝2n－15，则数列{bn}前n项和Sn＝n－13＋2n－152＝n2－14n.悟·技法等差数列的判定方法(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；第二种是利用等差中项法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定．(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.考点三等差数列的性质及其应用[互动讲练型]考向一：等差数列的性质[例2](1)[2019·山东青岛期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7S5，则S9和S3的大小关系是()A．S9S3B．S9＝S3C．S9S3D．不确定解析：(1)∵S7S5，∴S7－S50，∴a7＋a60，∴S9－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝3(a6＋a7)0，∴S9S3，故选C项．答案：(1)C(2)[2020·重庆适应性测试]设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.解析：(2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝89，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200.答案：(2)200考向二：利用等差数列的性质求最值[例3][2019·北京大兴期末]在首项为正数的等差数列{an}中，a3a4＝75，则当其前n项和Sn取最大值时，n的值为________．解析：解法一设数列{an}的公差为d，∵a3a4＝75，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴d＝－211a1，∴Sn＝－111a1n2＋1211a1n＝－a111(n－6)2＋3611a1，又a10，∴当n＝6时，Sn最大．解法二设数列{an}的公差为d，∵a3a4＝75，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴a6＋a7＝0，∵a10，d0，∴a60，a70，∴S6最大，∴满足题意的n的值为6.解法三∵a3a4＝75，∴5a3＝7a4，∴S5＝S7，∴S6最大，∴n的值为6.答案：6悟·技法1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a10，d0时，满足am≥0am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a10，d0时，满足am≤0am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2019·甘肃兰州六中期中]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S9＝18，Sn＝240，an－4＝30(n9)，则n＝()A．10B．14C．15D．17解析：∵{an}为等差数列，S9＝18，∴9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30(n9)，∴a1＋an＝a5＋an－4＝32，∴Sn＝na1＋an2＝16n＝240，∴n＝15，故选C项．答案：C2．[2020·河北衡水中学调研]两个等差数列的前n项和之比为5n＋102n－1，则它们的第7项之比为()A．2B．3C.4513D.7027解析：设这两个数列的前n项和分别为Sn，Tn，则S13T13＝13a1＋a13213b1＋b132＝13×2a713×2b7＝a7b7＝5×13＋102×13－1＝3，故选B.答案：B3．[2020·江西赣中南五校联考]在等差数列{an}中，已知a3＋a80，且S90，则S1、S2、…、S9中最小的是()A．S5B．S6C．S7D．S8解析：在等差数列{an}中，∵a3＋a80，S90，∴a5＋a6＝a3＋a80，S9＝9a1＋a92＝9a50，∴a50，a60，∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，故选A.答案：A