2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 理

【知识重温】一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几何条件)平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①______的点的轨迹叫做抛物线标准方程y2＝2px(p＞0)②_______________③_______________④_______________图形对称轴x轴⑤_____y轴⑥_____顶点坐标O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)相等y2＝－2px(p＞0)x2＝－2py(p＞0)x2＝2py(p＞0)x轴y轴焦点坐标F(p2，0)⑦________⑧_________⑨_________离心率ee＝1e＝1⑩______e＝1准线方程⑪______x＝p2y＝p2⑫______焦半径公式|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2⑬_________⑭__________范围x≥0y∈Rx≤0y∈R⑮______x∈R⑯______x∈RF(－p2，0)F(0，－p2)F(0，p2)e＝1x＝－p2y＝－p2|PF|＝－y0＋p2|PF|＝y0＋p2y≤0y≥02.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()××××2．[2020·石家庄质量检测]抛物线y＝2x2的准线方程是()A．x＝12B．x＝－12C．y＝18D．y＝－18解析：抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其准线方程为y＝－18，故选D.答案：D3．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.答案：A4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点F的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0解析：设M(x，y)，且抛物线方程可化为x2＝14y，则必有|MF|＝y＋p2＝y＋116＝1，所以y＝1516.答案：B5．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－18y.∴2p＝18，p＝116，∴焦点为0，－132.答案：0，－132考点一抛物线的定义和标准方程[自主练透型]1．[2020·湖北鄂州调研]过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A，若|AF|＝4，则p＝()A．2B．1C.3D．4解析：过点A作AB垂直x轴于点B，则在Rt△ABF中，∠AFB＝π3，|AF|＝4，∴|BF|＝12|AF|＝2，则xA＝2＋p2，∴|AF|＝xA＋p2＝2＋p＝4，得p＝2，故选A.答案：A2．[2020·成都高三摸底考试]已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，－2)，则此抛物线的标准方程为________．解析：依题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，因为焦点坐标为(0，－2)，所以－p2＝－2，解得p＝4.故所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.答案：x2＝－8y3．[2020·郑州一中高三摸底考试]从抛物线y＝14x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5.设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．解析：由题意，得x2＝4y，则抛物线的准线方程为y＝－1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝12×|PM|×|x0|＝12×5×4＝10.答案：10悟·技法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.考点二抛物线的几何性质[互动讲练型][例1](1)[2020·湖南师大附中高三模拟]设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－3D．x＝－4解析：(1)因为抛物线y2＝2px的焦点p2，0在2x＋3y－8＝0上，所以p＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D.答案：(1)D(2)一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：(2)如图，根据对称性：A，B关于x轴对称，故∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝33x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,23)．∴|AB|＝43，正三角形OAB的面积为12×43×6＝123.答案：(2)123悟·技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·合肥市第二次质量检测]已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±3B．±1C．±34D．±33解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋p2＝2p，解得xM＝3p2，代入抛物线方程可得yM＝±3p，则直线MF的斜率为yMxM－p2＝±3pp＝±3，选项A正确．答案：A2．[2020·福州四校联考]已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为()A．16B．18C．24D．32解析：不妨设抛物线C：y2＝2px(p0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p＝8，p＝4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM的面积为12×8×4＝16，故选A.答案：A考点三直线与抛物线的位置关系[互动讲练型][例2][2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解析：设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32，由题设可得x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12t－19.从而－12t－19＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4133.悟·技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2018·全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解析：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.微专题(十九)抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1]已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，B(－1,1)，点P到直线l：x＝－12的距离为d，求d＋|PB|的最小值．解析：由题意得抛物线y2＝2x的焦点F12，0，直线l是抛物线的准线，如图，连接BF，PF，所以d＝|PF|，则d＋|PB|＝|PF|＋|PB|≥|BF|＝－1－122＋1－02＝132，当且仅当B，P，F三点共线时取等号，所以d＋|PB|的最小值为132.名师点评与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．2．平移直线法[例2]抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：解法一如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得y＝－x2，4x＋3y＋b＝0，消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－43，所以切线方程为4x＋3y－43＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝|8－43|5＝43.解法二由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－43，所以m＝23，即切点T23，－49，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最