2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离①________________为非零常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(ⅰ)当④__________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤__________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥__________时，M点不存在．之差的绝对值焦点焦距2a|F1F2|2a＝|F1F2|2a|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围⑦_____________y∈R⑧______________x∈R对称性对称轴：⑨________对称中心：⑩________对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点顶点坐标：A1⑬_______，A2⑭____顶点坐标：A1⑮_______，A2⑯______渐近线⑰________⑱________离心率e＝⑲____，e∈(1，＋∞)其中c＝⑳________性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝○21____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝○22____；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c关系c2＝○23________(c＞a＞0，c＞b＞0)x轴、y轴坐标原点x轴，y轴坐标原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)y＝±baxy＝±abxcaa2＋b22a2ba2＋b2x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a3.双曲线中的4个常用结论(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若ab0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b0，则双曲线的离心率e＝2；若0ab，则双曲线的离心率e2.3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()××√(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．()√√2．[2018·浙江卷]双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0,2)解析：本小题考查双曲线的标准方程和几何性质．∵a2＝3，b2＝1，∴c＝a2＋b2＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．答案：B3．[2020·合肥检测]若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±12x解析：本题考查双曲线的几何性质．设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，因为e＝ca＝3，所以c2＝a2＋b2＝3a2，即b＝2a，则此双曲线的渐近线方程为y＝±abx＝±22x，故选B.答案：B4．[2017·天津卷]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝1解析：由离心率为2可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a,0)，由题意可知kPF＝4－00－－2a＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1，故选B.答案：B5．双曲线x23－y22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为25.答案：25考点一双曲线的定义及其标准方程[自主练透型]1．[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：由y＝52x，可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.答案：B2．[2020·石家庄摸底考试]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是()A.7x216－y212＝1B.y23－x22＝1C．x2－y23＝1D.3y223－x223＝1解析：解法一当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意得9a2－4b2＝1，ab＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.解法二当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝233，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.解法三因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.答案：C3．[2020·河南洛阳尖子生联考]经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113－y211＝1B.x22－y2＝1C.y2113－x211＝1D.y211－x2113＝1解析：通解设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k×0－2|k2＋1＝1，解得k＝±3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，将点(2,1)代入可得4a2－1b2＝1，由4a2－1b2＝1，ba＝3，得a2＝113，b2＝11，故所求双曲线的方程为x2113－y211＝1.故选A.优解设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，将(2,1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±mnx，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0,2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得21＋mn＝1，即mn＝3②，由①②可得m＝311，n＝111，所以该双曲线的方程为x2113－y211＝1，故选A.答案：A悟·技法求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.考点二双曲线的几何性质[分层深化型]考向一：双曲线的离心率[例1][2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．解析：通解因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，如图．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A→＝AB→，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝ab，tan∠BOF2＝ba.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以ba＝2×ab1－ab2，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.优解因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又F1A→＝AB→，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c,0)可得Bc2，3c2，因为点B在直线y＝bax上，所以32c＝ba·c2，所以ba＝3，所以e＝1＋b2a2＝2.答案：2考向二：双曲线的渐近线[例2][2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1，得b＝2，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±2x.答案：y＝±2x悟·技法1.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.[同类练]——(着眼于触类旁通)1．[2020·河南南阳质检]若双曲线y2a2－x29＝1(a0)的一条渐近线与直线y＝13x垂直，则此双曲线的实轴长为()A．2B．4C．18D．36解析：双曲线的渐近线方程为y＝±a3x，由题意可得－a3×13＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故选C.答案：C2．[2020·宝安，潮阳，桂城等八校联考]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D．2解析：易知双曲