2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线的综合问题 第1课时 最值、范围、证

第八章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题课程标准考情索引核心素养1.了解圆锥曲线的简单应用.2.进一步体会数形结合的思想.2019·全国卷Ⅰ，T192019·全国卷Ⅱ，T212018·全国卷Ⅰ，T192018·全国卷Ⅱ，T202017·全国卷Ⅰ，T201.直观想象2.数学运算1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0，f（x，y）＝0，消元，(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．当Δ0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当Δ0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2]＝1＋1k2|y1－y2|．(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0.点差法的常见结论(设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点)：标准方程点差法结论x2a2＋y2b2＝1(ab0)kAB·kOM＝－b2a2y2a2＋x2b2＝1(ab0)kAB·kOM＝－a2b2x2a2－y2b2＝1(a0，b0)kAB·kOM＝b2a2y2a2－x2b2＝1(a0，b0)kAB·kOM＝a2b2y2＝2px(p≠0)kAB＝py0(y0为中点M的纵坐标)x2＝2py(p≠0)kAB＝x0p(x0为中点M的横坐标)[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)过抛物线y2＝2px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．()解析：(1)椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．(2)当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．(3)可转化为到准线的距离来证明(3)正确．(4)当直线l为对称轴时，l与抛物线只有一个交点．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A选修2－1·习题改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：其中一条过(0，1)且平行于x轴的直线，两条过(0，1)且与抛物线相切的直线．答案：C3．(人A选修2－1·习题改编)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________．解析：当直线l的斜率不存在时，显然不成立．设直线l的斜率为k，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为直线l过焦点F(1，0)，故直线l的方程为y＝k(x－1)，(k≠0)．由y＝k（x－1），y2＝4x，得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则Δ＝[－（2k2＋4）]2－4k40，x1＋x2＝2k2＋4k2＝2＋4k2，x1·x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋4k2＋2＝8.所以k2＝1，故k＝±1.所以直线l的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.答案：x－y－1＝0或x＋y－1＝0[典题体验]4．(一题多解)(2019·浙江卷)已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：法一如图，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)．线段PF的中点M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.在△FF′P中，OM12PF′，所以PF′＝4.根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，所以PF＝2.又因为FF′＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠PFF′＝MF′MF＝FF′2－MF2MF＝15，故直线PF的斜率是15.法二易知F(－2，0)，设P(3cosθ，5sinθ)，设PF的中点为M，则M3cosθ－22，5sinθ2，因为|OM|＝|OF|＝2，所以3cosθ－222＋5sinθ22＝4，所以9cos2θ－12cosθ＋4＋5sin2θ＝16，又因为sin2θ＝1－cos2θ，所以4cos2θ－12cosθ－7＝0，解得cosθ＝－12，所以sin2θ＝34，又因为P在x轴上方，所以sinθ＝32，所以P－32，152，所以kPF＝15.答案：155．(2020·福州市质检)抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则有y21＝2px1，y22＝2px2，两式相减可得2p＝y1－y2x1－x2×(y1＋y2)，又P(1，1)为弦AB的中点，所以y1＋y2＝2.由x－y＝0得直线AB的斜率kAB＝1，所以2p＝y1－y2x1－x2(y1＋y2)＝kAB×2＝2，所以p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.答案：B6.(2020·惠州调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P1，32，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点G18，0，求k的取值范围．解：(1)因为抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1，0)，所以椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，又椭圆过点P1，32，所以由椭圆的定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，所以a＝2，又c＝1，所以b＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，两式相减得x21－x224＝－y21－y223，即y1－y2x1－x2＝－34·x1＋x2y1＋y2，所以点A的坐标满足方程y＝－34kx，①又因为直线AG⊥MN且直线AG过点G18，0，所以点A的坐标也满足方程y＝－1kx－18，②联立①②解得x＝12，y＝－38k，即A12，－38k.因为点A在椭圆内部，所以x24＋y231.所以116＋364k21，所以k2120，所以k510或k－510，所以k的取值范围为－∞，－510∪510，＋∞.第1课时最值、范围、证明问题考点1最值问题(多维探究)角度利用几何性质求最值[典例1]设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案：C通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等分析出取最值时的位置或状态，然后再运算求解．(2020·金华市明珠学校月考)如图，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A运动到B时，求△ABP面积的最大值．解：(1)由y＝kx－2，x2＝－2py，得x2＋2pkx－4p＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4，因为OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－2pk＝－4，－2pk2－4＝－12.解得p＝1，k＝2.所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△APB的面积最大，因为抛物线C的方程为x2＝－2y，所以y′＝－x，所以－x0＝2⇒x0＝－2，y0＝－12x20＝－2，所以P(－2，－2)，此时P到直线l的距离d＝|2·（－2）－（－2）－2|22＋（－1）2＝45＝455，由y＝2x－2，x2＝－2y得，x2＋4x－4＝0，|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1·x2＝1＋22·（－4）2－4（－4）＝410.所以△ABP的面积最大值为410·4552＝82.角度利用基本不等式或函数求最值[典例2](2019·豫南九校联考)已知点F1(－2，0)，圆F2：(x－2)2＋y2＝16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N.(1)求点N的轨迹方程；(2)设点N的轨迹为曲线E，过点P(0，1)且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．解：(1)连接NF1，由已知得|NF1|＝|NM|，所以|NF1|＋|NF2|＝|MN|＋|NF2|＝4，又|F1F2|＝224，所以点N的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆，所以点N的轨迹方程是x24＋y22＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B′(－x2，y2)，联立直线AB的方程与椭圆的方程得x2＋2y2＝4，y＝kx＋1，消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，所以Δ＝8（1＋4k2）0，x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1x2＝－21＋2k2.因为kAB′＝y1－y2x1＋x2，所以直线AB′：y－y1＝y1－y2x1＋x2(x－x1)，令x＝0，得y＝x1y2＋x2y1x1＋x2＝x1（kx2＋1）＋x2（kx1＋1）x1＋x2＝2kx1x2x1＋x2＋1＝2，所以直线AB′过定点Q(0，2)(易知当直线l的斜率不存在时仍符合)．所以△PAB′的面积S＝|SPQB′－S△PQA|＝12|x1＋x2|＝2|k|1＋2k2＝21|k|＋2|k|≤22，当且仅当k＝±22时