2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第5节 椭圆 第1课时 椭圆及简单几何性质课件

第八章平面解析几何第5节椭圆课程标准考情索引核心素养1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质.2019·全国卷Ⅰ，T102019·全国卷Ⅱ，T212019·全国卷Ⅲ，T152018·全国卷Ⅰ，T192018·全国卷Ⅱ，T122018·全国卷Ⅲ，T202017·全国卷Ⅰ，T202017·全国卷Ⅲ，T101.直观想象2.数学运算1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆．(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段．(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)性质离心率e＝ca，且e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．点P(x0，y0)和椭圆的关系．(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．若P为椭圆上任意一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(6)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√[教材衍化]2．(人A选修2－1·习题改编)椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．12解析：当焦点在x轴上时，10－mm－20，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或m＝8.答案：C3．(人A选修2－1·习题改编)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以P点坐标为152，1或152，－1.答案：152，1或152，－1[典题体验]4．(多选题)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的值可能是()A．5B．4C．2D．3解析：方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，即方程x24＋y2k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得0k4，故选CD.答案：CD5．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.答案：B6．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223解析：因为a2＝4＋22＝8，所以a＝22，所以e＝ca＝222＝22.故选C.答案：C第1课时椭圆及简单几何性质考点1椭圆的定义及其应用(自主演练)1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.答案：D2．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得（x＋4）2＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)3．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，且PQ⊥PF1，求椭圆的标准方程．解：由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝23，即c＝3，从而b＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是应用椭圆定义求动点轨迹或轨迹方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．2．椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.考点2椭圆的标准方程(讲练互动)[典例1]已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF与点P，则动点P的轨迹方程为()A.x212＋y211＝1B.x236－y235＝1C.x23－y22＝1D.x23＋y22＝1解析：由题意得|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23|AF|＝2，所以点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，所以b2＝2，所以动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1.答案：D[典例2](2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线．解：由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．1．定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．2．待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．1．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12，得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.答案：A2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110.所以椭圆方程为y210＋x26＝1.答案：y210＋x26＝1考点3椭圆的几何性质(多维探究)角度求离心率的值或范围[典例1](2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，得a＝1＋32，c＝1，所以离心率e＝ca＝21＋3＝3－1.故选D.答案：D求椭圆离心率的两种方法：1．直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．2．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．角度利用椭圆的性质求参数的值或范围[典例2]已知椭圆x29＋y24－k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D.1925或－21解析：当9＞4－k＞0，即－5＜k＜4时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，所以5＋k3＝45，解得k＝1925.当9＜4－k，即k＜－5时，a＝4－k，c2＝－k－5，所以－k－54－k＝45，解得k＝－21，所以k的值为1925或－21.答案：D利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，建立关于a、b、c的方程或不等式．1．(角度1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，所以|b×0－a×0＋2ab|b2＋（－a）2＝a，即2b＝a2＋b2，所以a2＝3b2，因为a2＝b2＋c2，所以c2a2＝23，所以e＝ca＝63.答案：A2．(角度2)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)解析：当0＜m＜3时，椭圆C的长轴在x轴上，如图(1)所示，A(－3，0)，B(3，0)，M(0，m)．当点M运动到短轴的端点时，∠AMB取最大值，此时∠AM