2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第1节 直线与方程课件

第八章平面解析几何第1节直线与方程课程标准考情索引核心素养1.探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).2019·全国卷Ⅰ，T19(1)2018·全国卷Ⅰ，T19(1)2018·全国卷Ⅱ，T19(1)2017·全国卷Ⅲ，T20(2)1.直观想象2.数学运算1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)当直线l的倾斜角α≠90°时，斜率k＝tanα．(2)点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．θ0°0°θ90°90°90°θ180°k0k0不存在k02.点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．3．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与解决截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．4．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)直线的斜率越大，其倾斜角就越大．()(3)xa＋yb＝1表示所有不经过原点的直线．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.答案：A3．(人A必修2·习题改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________________．解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0[典题体验]4．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π解析：设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.答案：B5．(2020·衡水质检)直线2x·sin210°－y－2＝0的倾斜角是()A．45°B．135°C．30°D．150°解析：由题意得直线的斜率k＝2sin210°＝－2sin30°＝－1，故直线的倾斜角为135°.答案：B6．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝2考点1直线的倾斜角与斜率(典例迁移)[典例1]直线l经过点A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．解析：直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.答案：π4，π2[典例2](经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析：如图，因为kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，所以直线l的斜率k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)[迁移探究]1．若将典例2中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以kAP＝1－02－（－1）＝13，kBP＝3－00－（－1）＝3.由图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2．若将典例2中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．解：如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．1．直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．2．求斜率的两种方法．(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．考点2求直线方程(讲练互动)[典例]求适合下列条件的直线方程．(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，因为l过点(4，1)，所以4a＋1a＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．3．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．1．求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.2．求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.考点3直线方程的综合应用(多维探究)角度与基本不等式相结合求最值问题[典例1]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解：由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.角度由直线方程求参数问题[典例2]已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小．与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题时，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．2．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够将方程整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．3．求参数值或范围时，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解问题．1．(角度1)(2020·豫北名校调研)直线l过点P(6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为________．解析：设直线l的方程为y－4＝k(x－6)(k≠0)，不妨设A6－4k，0，B(0，4－6k)，由题意知k0，则S△ABO＝12×|OA|·|OB|＝126－4k·(4－6k)＝24－18k－8k，因为k0，所以－18k0，－8k0，所以－18k－8k≥2（－18k）·－8k＝24，当且仅当－18k＝－8k，即k2＝49，也即k＝－23时取得等号，所以△ABO的面积的最小值为48，此时直线l的方程为y－4＝－23(x－6)，即2x＋3y－24＝0.答案：2x＋3y－24＝02．(角度2)设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是_______．解析：直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，因为kMA＝3－（－2）－2－0＝－52，kMB＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a－52，且－a43，所以a∈－43，52.答案：－43，52