2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法课件 理

【知识重温】一、必记4个知识点1．异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0，π]①______求法cosβ＝a·b|a||b|cosθ＝|cosβ|＝②______0，π2|a·b||a||b|2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝③______.|e·n||e||n|3．二面角的求法(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．①②③(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．4．空间距离的求法(1)利用|AB→|2＝AB→·AB→可以求空间中有向线段的长度．(2)点面距离的求法．已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→|·|cos〈AB→，n〉|＝|AB→·n||n|.二、必明3个易误点1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为0，π2.2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cosθ＝|n1·n2||n1||n2|；由图形知二面角是钝角时，cosθ＝－|n1·n2||n1||n2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．()(2)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则a∥c，a⊥b.()(3)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为120°.()(4)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.()×√××2．[2020·广东中山一中模拟]如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－105B.105C．－1010D.1010解析：不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S－xyz，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，则M12，12，0，N0，0，12，所以SM→＝12，12，0，BN→＝0，－1，12，所以|SM→|＝12，|BN→|＝54，SM→·BN→＝－12，所以cos〈SM→，BN→〉＝SM→·BN→|SM→||BN→|＝－105，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为105.答案：B3．[2020·东北三校模拟]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A.64B．－64C.104D．－104解析：取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A32，12，0，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E32，0，0，则AD→＝－32，－12，1，BE→＝32，0，0.∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴BE→＝32，0，0为平面AA1C1C的一个法向量．设AD与平面AA1C1C所成角为α，∵cos〈AD→，BE→〉＝AD→·BE→|AD→||BE→|＝－64，∴sinα＝|cos〈AD→，BE→〉|＝64.答案：A4．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83解析：如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝AC21－AC2＝42－22＋22＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.故选C.答案：C5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD.又因为CD⊥平面PAD，所以AE⊥CD，又PD∩CD＝D，所以AE⊥平面CDP.所以AD→＝(0,1,0)，AE→＝0，12，12分别是平面ABP，平面CDP的法向量，且〈AD→，AE→〉＝45°，所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.答案：45°考点一向量法求直线与平面所成的角[互动讲练型][例1][2020·福建福州质量抽测]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB＝A1B＝AC＝2，BB1＝22.(1)求证：A1B⊥平面ABC；(2)若P是棱B1C1的中点，求直线BB1与平面PAB所成角的正弦值．解析：(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B.∵BB1＝22，∴AA1＝22，∵AB＝A1B＝2，∴AB2＋A1B2＝AA21，∴A1B⊥AB，又AC∩AB＝A，∴A1B⊥平面ABC.(2)解法一由(1)知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，如图，以A1为坐标原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，P(1,1,0)，B(0,0，－2)，B1(0,2,0)，AB→＝A1B1→＝(0,2,0)，PB→＝(－1，－1，－2)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·PB→＝0，即y＝0，－x－y－2z＝0，取z＝1，则n＝(－2,0,1)为平面PAB的一个法向量．BB1→＝(0,2,2)，设直线BB1与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BB1→〉|＝|n·BB1→|n|·|BB1→||＝25×8＝1010.∴直线BB1与平面PAB所成角的正弦值为1010.解法二由(1)知，直线AC，AB，BA1两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AC，AB，Az(Az∥BA1)所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，P(1,3,2)，B(0,2,0)，B1(0,4,2)，AB→＝(0,2,0)，PB→＝(－1，－1，－2)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·PB→＝0，即y＝0，－x－y－2z＝0，取z＝1，则n＝(－2,0,1)为平面PAB的一个法向量．BB1→＝(0,2,2)，设直线BB1与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，BB1→〉|＝|n·BB1→|n|·|BB1→||＝25×8＝1010.∴直线BB1与平面PAB所成角的正弦值为1010.悟·技法向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．[提醒]在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·安徽芜湖质检]如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解析：(1)因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为AC⊥BD且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，又B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝t，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而B1D→＝(－t,3，－3)，AC→＝(t,1,0)，BD→＝(－t,3,0)，因为AC⊥BD，所以AC→·BD→＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝3或t＝－3(舍去)．所以AD1→＝(0,3,3)，AC→＝(3，1,0)，B1C1→＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·AC→＝0，n·AD1→＝0，即3x＋y＝0，3y＋3z＝0，取x＝1，则y＝－3，z＝3，所以n＝(1，－3，3)是平面ACD1的一个法向量．设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，B1C1→〉|＝|n·B1C1→||n||B1C1→|＝37＝217，故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.考点二向量法求二面角[互动讲练型][例2][2020·湖北武汉武昌区调研]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1CA＝30°，BC＝6.(1)求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C；(2)求二面角B1－AC1－C的余弦值．解析：(1)证明：如图，记A1C∩AC1＝O，连接BO.因为AB＝BC1，所以BO⊥AC1.由题意知△ACC1为正三角形，则CO＝3.易得在△ABC1中，BO＝3，又BC＝6，所以BC2＝CO2＋BO2，所以BO⊥CO.因为CO∩AC1＝O，所以BO⊥平面AA1C1C.因为BO⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面AA1C1C.(2)解法一建立如图所示的空间直角坐标系，得O(0,0,0)，B(0,0，3)，A(0,1,0)，C1(0，－1,0)，B1(3，－1，3)，AC1→＝(0，－2,0)，AB1→＝(3，－2，3)．因为BO⊥平面AA1C1C，所以平面ACC1的一个法向量为m＝(0,0，3)．设n＝(x，y，z)为平面AB1C1的法向量，则n·AC1→＝0，n·AB1→＝0，得－2y＝0，3x－2y＋3z＝0，得y＝0，取x＝1，得z＝－1，所以n＝(1,0，－1)为平面AB1C1的一个法向量．所以|cos〈m，n〉|＝22，因为所求二面角的平面角为钝角，所以二面角B1－AC1－C的余弦值为－22.解法二如图，过点B1作B1H⊥平面AA1C1C，垂足为H，连接OH，C1H，则四边形B1HOB为矩形，HO綊B1B，则HO綊C1C，所以四边形HOCC1为平行四边形，所以HC1∥OC，所以HC1⊥AC1，AC1⊥