2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线中的范围、最值问题课件 文 北师大版

第九章平面解析几何第八节圆锥曲线中的范围、最值问题2课堂考点探究3⊙考点1范围问题圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：4(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；5(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．6(2019·大连模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为12，点F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．7[解](1)由题意知ca＝12，则a＝2c.圆M的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而椭圆的左焦点为F1(－1,0)，即c＝1.所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b＝3.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.8(2)由(1)可知椭圆右焦点F2(1,0)．①当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x＝1，直线l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ACBD的面积为12.②当直线l与x轴平行时，此时斜率k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝43，四边形ACBD的面积为83.9③当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.显然Δ＞0，且x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.10所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过点F2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y＝－1k(x－1)，则圆心到直线l1的距离为2k2＋1，所以|CD|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.11故四边形ACBD的面积S＝12|AB||CD|＝121＋14k2＋3.可得当直线l与x轴不垂直时，四边形ACBD面积的取值范围为(12,83)．综上，四边形ACBD面积的取值范围为[12,83]．12过点F2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解．13(2019·郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．14[解](1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，联立b＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.故椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.15(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立y＝kx＋m，x24＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－14k2＋1.Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2.①16所以x0＝x1＋x22＝－4km4k2＋1，y0＝kx0＋m＝m4k2＋1.所以kAP＝y0＋1x0＝－m＋1＋4k24km.又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，则－m＋1＋4k24km＝－1k，即3m＝4k2＋1.②把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.17由②得k2＝3m－14＞0，解得m＞13.综上可知，m的取值范围为13，3.18⊙考点2最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解．19利用基本不等式求最值已知抛物线E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E上，且|FM|＝10.(1)求抛物线E的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B，C，D，P、Q分别为弦AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．20[解](1)抛物线E的准线方程为x＝－p2.由抛物线的定义可得|FM|＝t＋p2＝10，故t＝10－p2.由点M在抛物线上，可得82＝2p10－p2，整理得p2－20p＋64＝0，解得p＝4或p＝16，又0＜p＜10，所以p＝4.故抛物线E的方程为y2＝8x.21(2)由(1)知抛物线E的方程为y2＝8x，焦点为F(2,0)，由已知可得AB⊥CD，所以两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为－1k，故直线AB的方程为y＝k(x－2)．联立方程组y2＝8xy＝kx－2，消去x，整理得ky2－8y－16k＝0.22设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，因为P(xP，yP)为弦AB的中点，所以yP＝12(y1＋y2)＝4k，由yP＝k(xP－2)得xP＝yPk＋2＝4k2＋2，故P4k2＋2，4k.同理可得Q(4k2＋2，－4k)．23故|QF|＝4k2＋2－22＋－4k2＝16k4＋16k2＝4k21＋k2，|PF|＝16k4＋16k2＝41＋k2k2.因为PF⊥QF，所以△FPQ的面积S＝12|PF|·|QF|＝12×41＋k2k2×4k21＋k2＝8×1＋k2|k|＝8|k|＋1|k|≥8×2|k|·1|k|＝16，当且仅当|k|＝1|k|，即k＝±1时，等号成立．所以△FPQ的面积的最小值为16.24求点Q的坐标时，可根据直线AB与CD的斜率关系，把点P坐标中的k换成－1k，即可得到点Q的坐标．25利用二次函数求最值(2019·合肥模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．26[解](1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立x－y＋1＝0，y2＝2px，消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)．∴抛物线C的方程为y2＝4x.27(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立ty＝x－1，y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．28设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22t－122＋34，∴当t＝12时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为322.29本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dA＋dB＝2d.30(2019·黄山模拟)已知点M(1，n)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，且点M到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点为P(3,2)．(1)求直线l的方程．(2)点Q是直线y＝x上的动点，求QA→·QB→的最小值．31[解](1)由题意知，抛物线的准线方程为x＝－p2，所以1＋p2＝2，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，则y21－y22＝4(x1－x2)，32即y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42×2＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.33(2)因为点A，B都在直线l上，所以A(x1，x1－1)，B(x2，x2－1)，设Q(m，m)，QA→·QB→＝(x1－m，x1－(m＋1))·(x2－m，x2－(m＋1))＝(x1－m)(x2－m)＋[x1－(m＋1)][x2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝2x1x2－(2m＋1)(x1＋x2)＋m2＋(m＋1)2，联立y2＝4x，y＝x－1，得x2－6x＋1＝0，34则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以QA→·QB→＝2－(2m＋1)×6＋m2＋m2＋2m＋1＝2m2－10m－3＝2m－522－312，当m＝52时，QA→·QB→取得最小值，为－312.35利用导数求最值(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12x32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．36[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．37(2)联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32k2＋1.因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－k－1k＋12k2＋1，38所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.39|PA|·|PQ|用含k的高次多项式表示，宜用导数求最值．40在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝32.(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．41[解](1)∵点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝32，∴p4＋p2＝32，∴p＝2，∴C的方程为x2＝4y.42(2)设直线方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，∴y1＋y2＝4k2＋2b，∵线段PQ的中点的纵坐标为1，∴2k2＋b＝1，△OPQ的面积S＝12·b·16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0＜b≤1)，设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，故函数单调递增，∴b＝1时，△OPQ的面积取得最大值为2.Thankyouforwatching!