2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第6节 立体几何中的向量方法课件 理 北师大版

第八章立体几何第六节立体几何中的向量方法2[最新考纲]能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．3课前自主回顾41．异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角〈a，b〉l1与l2所成的角θ范围0＜〈a，b〉＜π________关系cos〈a，b〉＝a·b|a||b|cosθ＝|cos〈a，b〉|＝____0θ≤π2|a·b||a||b|52．直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝____________＝____.|cos〈a，n〉||a·n||a||n|63．二面角(1)如图①，AB，CD是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝___________．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝______________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．〈AB→，CD→〉|cos〈n1，n2〉|7[常用结论]点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→·n||n|.8一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()9[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．()10A[由于cos〈m，n〉＝－12，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.]二、教材改编1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°112．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A.π4B.34πC.π4或34πD.π2或34π12C[∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝2，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝22，∴〈m，n〉＝π4.∴两平面所成的二面角为π4或34π，故选C.]133.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.3010B.3015C.3030D.151514A[以D为原点建立空间直角坐标系D­xyz，如图，设AB＝2，则N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，∴B1M→＝(－1，－1，－2)，D1N→＝(1,0，－2)，∴B1M→·D1N→＝－1＋4＝3，|B1M→|＝6，|D1N→|＝5，∴cos〈B1M→，D1N→〉＝330＝3010＞0，∴B1M与D1N所成角的余弦值为3010.故选A.]154.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．16π6[如图，以A为原点，以AB→，AE→(AE⊥AB)，AA1→所在直线分别为x轴、y轴、z轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A(0,0,0)，C1(1，3，22)，D(1,0,22)，∴AC1→＝(1，3，22)，AD→＝(1,0,22)．∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，17cos∠C1AD＝AC1→·AD→|AC1→||AD→|＝1，3，22·1，0，2212×9＝32，又∵∠C1AD∈0，π2，∴∠C1AD＝π6.]18课堂考点探究19考点1求异面直线所成的角用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．20(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.3321C[在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C32，－12，0，C132，－12，1，AB1→＝(0，－2,1)，BC1→＝32，－12，1，cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→|·|BC1→|＝25×2＝105，故选C.]22[母题探究]1.本例条件换为：“直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点”，则直线EF和BC1所成的角是________．2360°[以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，∴EF→·BC1→＝2，∴cos〈EF→，BC1→〉＝22×22＝12，则EF和BC1所成的角是60°.]242．本例条件换为：“直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为等边三角形，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点”，则AM与BN所成角的余弦值为________．25710[如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC＝2，则A(0，－1,0)，M(0,0,2),B(－3，0,0)，N－32，－12，2，所以AM→＝(0,1,2)，BN→＝32，－12，2，所以cos〈AM→，BN→〉＝AM→·BN→|AM→||BN→|＝725×5＝710.]26两异面直线所成角的范围是θ∈0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．27[教师备选例题]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．28[解](1)证明：如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，29可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.30(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，|GB→|为单位长度，建立空间直角坐标系G­xyz，由(1)可得A(0，－3，0)，E(1,0，2)，F－1，0，22，C(0，3，0)，31所以AE→＝(1，3，2)，CF→＝－1，－3，22.故cos〈AE→，CF→〉＝AE→·CF→|AE→||CF→|＝－33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.32如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．[解](1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.33(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O­xyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)．所以PB→＝(1，3，－2)，34AC→＝(0,23，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝PB→·AC→|PB→||AC→|＝622×23＝64.即PB与AC所成角的余弦值为64.35考点2求直线与平面所成的角利用向量法求线面角的2种方法(1)法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．36(2019·深圳模拟)已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.(1)证明：MN⊥PC；(2)当H为PC的中点，PA＝PC＝3AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．37[解](1)证明：连接AC、BD且AC∩BD＝O，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PD＝PB，所以PO⊥BD，因为AC∩PO＝O且AC、PO平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC平面PAC，所以BD⊥PC，因为BD∥平面AMHN，且平面AMHN∩平面PBD＝MN，所以BD∥MN，MN⊥平面PAC，所以MN⊥PC.38(2)由(1)知BD⊥AC且PO⊥BD，因为PA＝PC，且O为AC的中点，所以PO⊥AC，所以PO⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为∠PAO，所以∠PAO＝60°，所以AO＝12PA，PO＝32PA，因为PA＝3AB，所以BO＝36PA.39以OA→，OD→，OP→分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设PA＝2，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B0，－33，0，C(－1,0,0)，D0，33，0，P0，0，3，H－12，0，32，所以BD→＝0，233，0，AH→＝－32，0，32，AD→＝－1，33，0.设平面AMHN的法向量为n＝(x，y，z)，40所以n·BD→＝0，n·AH→＝0，即233y＝0，－32x＋32z＝0，令x＝2，则y＝0，z＝23，所以n＝(2,0,23)，设AD与平面AMHN所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝n·AD→|n||AD→|＝34.所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为34.41若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．42(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．43[解]法一：(几何法)(1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥A