2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4节 垂直关系课件 理 北师大版

第八章立体几何第四节垂直关系2[最新考纲]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．3课前自主回顾41．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的_____一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．任意5(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条_________都垂直，那么该直线与此平面垂直aαbαl⊥al⊥b________⇒l⊥α性质定理如果两条直线同_________________，那么这两条直线平行a⊥α______⇒a∥b相交直线垂直于一个平面a∩b＝Ab⊥α62．二面角(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的___，这两个半平面叫作二面角的___．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_______棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是_____的二面角叫作直二面角．两个半平面棱面垂直于直角73．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．直二面角8(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条____，那么这两个平面互相垂直l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于____的直线与另一个平面垂直α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α垂线交线9[常用结论]直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．10(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．11[答案](1)×(2)×(3)×(4)×一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行．()(2)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()12A[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]二、教材改编1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m13A[A错误，l与β可能平行或相交，其余选项均正确．]2．下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ143.如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．154[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]164．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．17(1)外(2)垂[(1)如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．18(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故O是△ABC的垂心．]19课堂考点探究20考点1直线与平面垂直的判定与性质1.证明线面垂直的常用方法(1)判定定理．(2)垂直于平面的传递性．(3)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．21如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.22[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.23(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，24∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE.25通过本例的训练我们发现：判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正余弦定理及勾股定理的应用．26如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.27[证明]因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由3AC＝BC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.28考点2平面与平面垂直的判定与性质(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论根据并有利于证明．(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现．(3)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．29(2019·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱锥P­ABCD的体积．30[解](1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝3，因为PC＝2，BC＝1，PB＝3，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB；因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.31(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．由(1)知BC⊥平面PAB，因为BC平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.又平面PAB∩平面ABCD＝AB,PE⊥AB，32所以PE⊥平面ABCD，因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝32.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝13×12×(1＋2)×1×32＝34.33本例第(2)问在求四棱锥P­ABCD的高时，充分利用了三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直34[教师备选例题](2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．35[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.36由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E­ACD的体积VE­ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋25.37(2019·银川一模)如图，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱锥B­VAC的高．38[解](1)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.(2)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴等边△VAB的面积为S△VAB＝12×22×sin60°＝3，39又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM＝1，AC＝2，MC＝2，∴S△AMC＝12×1×72＝74，∴S△VAC＝2S△MAC＝72，由三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，即13S△VAC·h＝13S△VAB·OC,∴h＝3×172＝2217，即三棱锥B­VAC的高为2217.40考点3平行与垂直的综合问题探索性问题中的平行与垂直关系处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．41(2019·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．42[解](1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.43(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.44(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FG∥AB，且FG＝12AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝12AB.45所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE.46对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．47如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1