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当前位置:首页 > 临时分类 > 2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第9节 函数与方程课件 文 北师大版
第二章函数第九节函数与方程2[最新考纲]结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.3课前自主回顾41.函数的零点(1)定义:函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.零点x轴5(3)零点存在性定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即,则在区间内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间内至少有一个实数解.f(a)·f(b)<0(a,b)(a,b)62.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴的交点__________________无交点零点个数______(x1,0),(x2,0)(x1,0)2107[常用结论]有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.8一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)·f(b)<0.()(3)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(4)二次函数y=ax2+bx+c在b2-4ac<0时没有零点.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√9二、教材改编1.已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个10B[∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点.]112.函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C[由题意得f(1)=ln1+2-6=-4<0,f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,f(3)=ln3+6-6=ln3>0,f(4)=ln4+8-6=ln4+2>0,∴f(x)的零点所在的区间为(2,3).]123.函数f(x)=ex+3x的零点个数是________.1[由已知得f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1e-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.]134.函数f(x)=x12-12x的零点个数为________.1[作函数y1=x12和y2=12x的图像如图所示.由图像知函数f(x)有1个零点.]14课堂考点探究15⊙考点1函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.161.函数f(x)=lnx-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B[由题意知函数f(x)是增函数,因为f(1)<0,f(2)=ln2-12=ln2-lne>0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.]172.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内18A[∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性判定定理可知:在区间(a,b)(b,c)内分别存在一个零点;又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.]193.已知函数f(x)=lnx+2x-6的零点在k2,k+12(k∈Z)内,那么k=________.5[∵f′(x)=1x+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,且f52=ln52-1<0,f(3)=ln3>0,∴f(x)的零点在52,3内,则整数k=5.]20(1)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.(2)若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.21⊙考点2函数零点个数的判断求函数零点个数的基本解法(1)直接法,令f(x)=0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.22(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.523(2)函数f(x)=lnx-x2+2x,x>0,2x+1,x≤0的零点个数为()A.0B.1C.2D.324(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.425(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx·(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B.(2)依题意,在考虑x>0时可以画出函数y=lnx与y=x2-2x的图像(如图),可知两个函数的图像有两个交点,当x≤0时,函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点,综上,函数f(x)有3个零点.故选D.26(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即x=0是函数f(x)的1个零点.当x>0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3的图像,如图所示,两函数图像有1个交点,所以函数f(x)有1个零点.根据对称性知,当x<0时,函数f(x)也有1个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.]27(1)利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(2)图像法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图像.在画函数的图像时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.281.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.429B[令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=12x.设g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x.在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图像,可以发现两个函数图像一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.故选B.]302.已知函数f(x)=-2,x>0,-x2+bx+c,x≤0,若f(0)=-2,f(-1)=1,则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为________.313[依题意得c=-2,-1-b+c=1,由此解得b=-4,c=-2.由g(x)=0得f(x)+x=0,该方程等价于x>0,-2+x=0,①32或x≤0,-x2-4x-2+x=0.②解①得x=2,解②得x=-1或x=-2.因此,函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.]33⊙考点3函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,然后数形结合求解.34根据函数零点个数求参数已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是________.35(0,1)∪(9,+∞)[设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|,在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图像如图所示.由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图像有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,36所以y=-x2-3x,y=a1-x有两组不同解,消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根,所以Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,解得a<1或a>9.又由图像得a>0,∴0<a<1或a>9.]37由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.38根据函数有无零点求参数已知函数f(x)=0,x≤0,ex,x>0,则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是________.39(-∞,0]∪(1,+∞)[函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x=x,x≤0,ex+x,x>0的大致图像(图略).观察它与直线y=m的交点,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.]40函数有无零点问题⇔函数图像与x轴有无公共点问题.41根据零点的范围求参数若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.4214,12[依题意,结合函数f(x)的图像分析可知m需满足m≠2,f-1·f0<0,f1·f2<0,即m≠2,[m-2-m+2m+1]2m+1<0,[m-2+m+2m+1][4m-2+2m+2m+1]<0,解得14<m<12.]43此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解.441.函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)C[因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3,故选C.]452.已知函数f(x)=x2-1,x<1,log12x,x≥1,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是________.46(-1,0)[关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,等价于函数y1=f(x)与函数y2=k的图像有三个不同的交点,作出函数的图像如图所示,由图可知实数k的取值范围是(-1,0).]Thankyouforwatching!
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