2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版

第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性2[最新考纲]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．3课前自主回顾41．奇函数、偶函数的概念图像关于对称的函数叫作奇函数；图像关于对称的函数叫作偶函数．y轴原点52．奇(偶)函数的性质(1)对于函数f(x)，f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性．(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，那么f(0)＝0.相反相同63．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)为周期函数．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．(3)若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f(x)的一个周期．最小正数最小的正数7[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．82．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)；(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．9一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√10二、教材改编1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－xB[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]112．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.－2[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]123．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝________.1[f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.]134.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．14(－2,0)∪(2,5][由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]15课堂考点探究16⊙考点1判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图像法：函数是奇(偶)函数⇔函数图像关于原点(y轴)对称．17(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数18(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝3－x2＋x2－3；②f(x)＝lg1－x2|x－2|－2；③f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.19(1)C[令F1(x)＝f(x)·g(x)，则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F1(x)，∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．20令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]21(2)[解]①由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．22②由1－x2＞0，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－x2－x.又∵f(－x)＝lg[1－－x2]x＝－lg1－x2－x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．23③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．24判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．251.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是()A．y＝tanx＋π4B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx26B[对于选项A，易知y＝tanx＋π4为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcosx，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sinx，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.]272．设函数f(x)＝ex－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数28D[∵f(x)＝ex－e－x2，则f(－x)＝e－x－ex2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]29⊙考点2函数奇偶性的应用利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．30(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．31利用奇偶性求参数的值[一题多解]若函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，则a的值为________．12[法一：(定义法)因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)312－x－1＋a＝x312x－1＋a，所以2a＝－12－x－1＋12x－1，所以2a＝1，解得a＝12.32法二：(特值法)因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×12－1－1＋a＝13×121－1＋a，解得a＝12，经检验，当a＝12时，函数f(x)为偶函数．]33已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．34利用函数的奇偶性求值(1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝()A．－12B.12C．2D．－2(2)[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.35(1)B(2)－3[(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝12，即f(－2)＝12.(2)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.36法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－fln12＝－(－ealn12)＝8，∴aln12＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.]37利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．38求函数解析式(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋139D[当x0时，－x0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.]40先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．411.若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.42±1[若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即k－2－x1＋k·2－x＝－k－2x1＋k·2x，化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1.]432．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．3[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.]443．(2019·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.0[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]45⊙考点3函数的周期性及其应用函数周期性的判定与应用判定判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周