2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用 第3讲 全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词课

数学第一章集合与常用逻辑用第3讲全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．全称量词与存在量词(1)全称量词和存在量词的含义量词名称常见量词含义全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等在指定范围内，表示整体或全部存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、某些等在指定范围内，表示个别或一部分(2)全称命题、特称命题的定义、否定形式及真假判断命题名称定义否定形式真假判断全称命题含有全称量词的命题_____________要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的特称命题命题名称定义否定形式真假判断特称命题含有存在量词的命题_________要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的全称命题2.逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“且”“或”“非”．(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断．pqp且qp或q非p(﹁p)真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真常用结论1．一组关系否命题命题的否定区别否命题既否定其条件，又否定其结论命题的否定只是否定命题的结论否命题与原命题的真假无必然联系命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假2．三个口诀(1)p或q→见真即真．(2)p且q→见假即假．(3)p与﹁p→真假相互．3．四组等价关系(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)且(﹁q)假．(2)p或q假⇔p，q均假⇔(﹁p)且(﹁q)真．(3)p且q真⇔p，q均真⇔(﹁p)或(﹁q)假．(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)或(﹁q)真．二、教材衍化1．命题“存在x∈R，log2x＋20”的否定是________________________．答案：对任意的x∈R，log2x＋2≥02．在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次．设p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为________．答案：(﹁p)或(﹁q)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)存在x∈M，p(x)与对任意的x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()×√√√√二、易错纠偏常见误区(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)不会利用真值表判断命题的真假；(3)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；(4)判断命题真假时忽视对参数的讨论．1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若1x＞1y，则x＜y.在命题①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或q中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p且q为假命题；②p或q为真命题；③﹁q为真命题，则p且(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)或q为假命题．答案：②③3．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为________．解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．答案：若ab≠0，则a≠0且b≠04．若p：对任意的x∈R，ax2＋4x＋10是假命题，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，4]全称命题与特称命题(多维探究)角度一全称命题、特称命题的否定(1)(2020·西安模拟)命题“对任意的x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．存在x＜0，xx－1≤0B．存在x＞0，0≤x≤1C．对任意的x＞0，xx－1≤0D．对任意的x＜0，0≤x≤1(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为()A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数【解析】(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得﹁p为“对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．【答案】(1)B(2)D角度二全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是()A．对任意的x∈R，x2≥0B．对任意的x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2(2)下列命题中的假命题是()A．对任意的x∈R，ex＞0B．对任意的x∈N，x2＞0C．存在x∈R，lnx＜1D．存在x∈N＋，sinπ2x＝1【解析】(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所以D错误．(2)对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．【答案】(1)D(2)B(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真[提醒]因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．(2020·河南八所重点高中第二次联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：对任意的f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p为()A．对任意的f(x)∈A，|f(x)|∉BB．对任意的f(x)∉A，|f(x)|∉BC．存在f(x)∈A，|f(x)|∉BD．存在f(x)∉A，|f(x)|∉B解析：选C.全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：对任意的f(x)∈A，|f(x)|∈B，得﹁p为存在f(x)∈A，|f(x)|∉B，故选C.含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(2020·惠州调研)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q是真命题．必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．【答案】B判断含有逻辑联结词命题真假的步骤(2019·高考全国卷Ⅲ改编)记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：对任意的(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q②﹁p或q③p且﹁q④﹁p且﹁q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④解析：选A.通解：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且﹁q正确．故选A.优解：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p或q和p且﹁q正确．故选A.由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意的x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．【解】依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】(变问法)在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．解：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由m＜0，－2＜m＜2，可得－2＜m＜0.【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．解：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m＜0，m≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q真时m≥0，－2＜m＜2，所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．(2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)若命题“对任意的x∈0，π3，1＋tanx≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．解析：根据题意得不等式1＋tanx≤m，对任意的x∈0，π3恒成立，因为y＝1＋tanx在x∈0，π3上为增函数，所以(1＋tanx)max＝1＋tanπ3＝1＋3，则有m≥1＋3，即实数m的取值范围是[1＋3，＋∞)．答案：[1＋3，＋∞)2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放