2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件课件

数学第一章集合与常用逻辑用第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．命题在数学中，可以判断_________用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断_________的语句叫做真命题，判断_________的语句叫做假命题．真假为真为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系相同没有关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_________的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_________．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的_________条件，q是p的_________条件p是q的_____________条件p⇒q且q⇒/pp是q的____________条件p⇒/q且q⇒pp是q的_________条件p⇔qp是q的____________________条件p⇒/q且q⇒/p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要常用结论从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊆/B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化1．命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：若x≤y，则x2≤y2假2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知：“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()××√√√二、易错纠偏常见误区(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0.2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab0，则a0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.3．条件p：xa，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|xa}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a2.答案：(1)a≥2(2)a2四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1x1，则x21C．若x1或x－1，则x21D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x21，则－1x1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P＝x|x＝k＋12，k∈Z，Q＝x|x＝k2，k∈Z，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．4解析：选C.因为P＝x|x＝k＋12，k∈Z＝x|x＝2k＋12{k∈Z}，Q＝x|x＝k2，k∈Z，所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒]四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·郑州模拟)已知a，b都是实数，那么“ba0”是“1a1b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2020·延安模拟)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)若1a1b，则1a－1b＝b－aab0.当0ab时，1a1b成立；当a0，b0时，满足1a1b，但0ab不成立．故“ba0”是“1a1b”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x0”是“|x－1|1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由x2－5x0可得0x5.由|x－1|1可得0x2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x0”是“|x－1|1”的必要而不充分条件．2．(2020·安徽淮南二模)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A＝{x|x－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1x≤1B．x≤1C．x－1D．－1x1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】(1)因为集合A＝{x|x－1}，B＝{x|x≥1}，又因为“x∈A且x∉B”，所以－1x1；又当－1x1时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“－1x1”．故选D.(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【答案】(1)D(2)[0，3]【迁移探究】(变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒/P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以1－m≤－2，1＋m＞10或1－m＜－2，1＋m≥10.所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10解析：选C.命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“对任意的x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“对任意的x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.2．若“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x2－x－60，解得x－2或x3.因为“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，所以{x|xa}是{x|x－2或x3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：3本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放