2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用 第1讲 集合及其运算课件 理 北师大版

数学第一章集合与常用逻辑用第1讲集合及其运算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：_________、_________、_________．(2)元素与集合的关系是_________或_________关系，用符号______或_______表示．(3)集合的表示法：_________、_________、_________．确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)_________________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中_______________集合相等集合A，B中元素相同A＝BA⊆B(或B⊇A)AB(或BA)3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝________________A∩B＝________________∁UA＝________________{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}常用结论1．三种集合运算的性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．二、教材衍化1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D答案：B2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为()A．9B．8C．7D．6解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________．解析：因为B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()××√√×二、易错纠偏常见误区(1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.答案：0或32．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝12.答案：0或123．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)集合的概念(自主练透)1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有()A．5个B．4个C．3个D．无数个解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.答案：0或983.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.答案：(16，＋∞)4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－32.答案：－32求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则()A．B⊆AB．A＝BC．ABD．BA(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．【解析】(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.【答案】(1)C(2)D(3)(－∞，3]【迁移探究1】(变条件)本例(3)中，若BA，求m的取值范围？解：因为BA，①若B＝∅，成立，此时m＜2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．【迁移探究2】(变条件)本例(3)中，若A⊆B，求m的取值范围．解：若A⊆B，则m＋1≤－2，2m－1≥5，即m≤－3，m≥3.所以m的取值范围为∅.【迁移探究3】(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x－2或x5}，试求m的取值范围．解：因为B⊆A，所以①当B＝∅时，2m－1m＋1，即m2，符合题意．②当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋15或m＋1≤2m－1，2m－1－2，解得m≥2，m4或m≥2，m－12.即m4.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)判断两集合关系的方法①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．(2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．[提醒]空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．1．(2020·西安模拟)设集合M＝{x|x2－x0}，N＝x1x1，则()A．MNB．NMC．M＝ND．M∪N＝R解析：选C.集合M＝{x|x2－x0}＝{x|x1或x0}，N＝x1x1＝{x|x1或x0}，所以M＝N.故答案为C.2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A．6个B．5个C．4个D．3个解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4x2}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N＝()A．{x|－4x3}B．{x|－4x－2}C．{x|－2x2}D．{x|2x3}(2)(2020·河南焦作模拟)若集合A＝{x|2x2－9x0}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝()A.2，92B．∅C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】(1)通解：因为N＝{x|－2x3}，M＝{x|－4x2}，所以M∩N＝{x|－2x2}，故选C.优解：由题可得N＝{x|－2x3}．因为－3∉N，所以－3∉M∩N，排除A，B；因为2.5∉M，所以2.5∉M∩N，排除D.故选C.(2)因为A＝{x|2x2－9x0}＝xx92或x0，所以∁RA＝x0≤x≤92，又B＝{y|y≥2}，所以(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．故选C.【答案】(1)C(2)C角度二利用集合的运算求参数(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．12，1C.23，＋∞D．(1，＋∞)(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．【解析】(1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥23，即实数a的数值范围是23，＋∞.故选C.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.【答案】(1)C(2)4(3)[－3，4](1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解