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数学第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质第1课时三角函数的图象与性质(一)01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{x|x≠kπ+π2,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R函数的最值最大值1,当且仅当____________________;最小值-1,当且仅当____________________最大值1,当且仅当____________________;最小值-1,当且仅当____________________无最大值和最小值x=2kπ+π2,k∈Zx=2kπ,k∈Zx=2kπ-π2,x=2kπ-π,k∈Zk∈Z函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性增区间_________________________;减区间___________________________增区间_____________________;减区间______________________增区间______________________奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为__________周期为2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为______周期为kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期为__________[k·2π-π2,k·2π+π2](k∈Z)[k·2π+π2,k·2π+3π2](k∈Z)[k·2π-π,k·2π](k∈Z)[k·2π,k·2π+π](k∈Z)(k·π-π2,k·π+π2)(k∈Z)2π2ππ对称性对称中心_____________________________________对称轴___________________________无对称轴零点kπ,k∈Zkπ+π2,k∈Zkπ,k∈Z(kπ,0),k∈Zkπ+π2,0,k∈Zkπ2,0,k∈Zx=kπ+π2,k∈Zx=kπ,k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个____________,使得当x取定义域内的每一个值时,都有____________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数__________叫做这个函数的周期;函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均为T=2π|ω|;函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=π|ω|.非零常数Tf(x+T)=f(x)T常用结论1.函数y=sinx与y=cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,如y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z),而不是x=2kπ(k∈Z).2.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)内为增函数.二、习题改编1.(必修4P46A组T2,3改编)若函数y=2sin2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则()A.T=π,A=1B.T=2π,A=1C.T=π,A=2D.T=2π,A=2答案:A2.(必修4P45练习T3改编)函数y=tan2x的定义域是()A.xx≠kx+π4,k∈ZB.xx≠kπ2+π8,k∈ZC.xx≠kπ+π8,k∈ZD.xx≠kπ2+π4,k∈Z答案:D3.(必修4P38例3改编)函数y=3-2cosx+π4的最大值为________,此时x=________.答案:53π4+2kπ(k∈Z)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)y=cosx在第一、二象限内是减函数.()(2)若y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(4)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z).()(5)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.()××√××二、易错纠偏常见误区(1)忽视y=Asinx(或y=Acosx)中A对函数单调性的影响;(2)忽视正、余弦函数的有界性;(3)不注意正切函数的定义域.1.函数y=1-2cosx的单调递减区间是__________.答案:[2kπ-π,2kπ](k∈Z)2.函数y=-cos2x+3cosx-1的最大值为__________.答案:13.函数y=cosxtanx的值域是__________.答案:(-1,1)三角函数的定义域(师生共研)(1)函数y=1tanx-1的定义域为__________;(2)函数y=cosx-12的定义域为__________.【解析】(1)要使函数有意义,必须有tanx-1≠0,x≠π2+kπ,k∈Z,即x≠π4+kπ,k∈Z,x≠π2+kπ,k∈Z.故函数的定义域为x|x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z.(2)要使函数有意义,则cosx-12≥0,即cosx≥12,解得-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为x-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z.【答案】(1)x|x≠π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z(2)x-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例,应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域.(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域.1.函数y=lg(3tanx-3)的定义域为__________.解析:要使函数y=lg(3tanx-3)有意义,则3tanx-30,即tanx33.所以π6+kπxπ2+kπ,k∈Z.答案:π6+kπ,π2+kπ,k∈Z2.函数y=sinx-cosx的定义域为__________.解析:要使函数有意义,需sinx-cosx≥0,即sinx≥cosx.解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z),故原函数的定义域为2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z).答案:2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z)三角函数的单调性(多维探究)角度一确定三角函数的单调性(单调区间)(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|(2)函数f(x)=sinπ3-2x的单调递减区间为__________.【解析】(1)A中,函数f(x)=|cos2x|的周期为π2,当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,函数f(x)单调递增,故A正确;B中,函数f(x)=|sin2x|的周期为π2,当x∈π4,π2时,2x∈π2,π,函数f(x)单调递减,故B不正确;C中,函数f(x)=cos|x|=cosx的周期为2π,故C不正确;D中,f(x)=sin|x|=sinx,x≥0,-sinx,x0,由正弦函数图象知,在x≥0和x0时,f(x)均以2π为周期,但在整个定义域上f(x)不是周期函数,故D不正确.故选A.(2)f(x)=-sin2x-π3的减区间是f(x)=sin2x-π3的增区间.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.故所给函数的单调递减区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.【答案】(1)A(2)kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z【迁移探究1】(变条件)若本例(2)f(x)变为:f(x)=-cos-2x+π3,求f(x)的单调递增区间.解:f(x)=-cos-2x+π3=-cos2x-π3,欲求函数f(x)的单调递增区间,只需求y=cos2x-π3的单调递减区间.由2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).【迁移探究2】(变条件)本例(2)f(x)变为:f(x)=sin2x-π3,试讨论f(x)在区间-π4,π4上的单调性.解:令z=2x-π3,易知函数y=sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,π4,B=x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4.所以,当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π12,π4上单调递增,又因为π4--π4=π2T,所以f(x)在区间-π4,-π12上单调递减.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.[提醒]要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,若ω0,那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数.同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.角度二利用三角函数的单调性比较大小已知函数f(x)=2sinx+π3,设a=fπ7,b=fπ6,c=fπ3,则a,b,c的大小关系是()A.acbB.cabC.bacD.bca【解析】a=fπ7=2sin10π21,b=fπ6=2sinπ2=2,c=fπ3=2sin2π3=2sinπ3,因为y=sinx在0,π2上单调递增,且π310π21π2,所以cab.【答案】B利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同,再利用其单调性比较大小.角度三已知三角函数的单调区间求参数(一题多解)(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)=23sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx在区间-3π2,3π2上单调递增,则正数ω的最大值为()A.18B.16C.14D.13【解析】法一:因为f(x)=23sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx=3sin2ωx+1在区间-3π2,3π2上单调递增,所以-3ωπ≥-π2,3ωπ≤π2.解得ω≤16,所以正数ω的最大值是16.故选B.法二:易知f(x)=3sin2ωx+1,可得f(x)的最小正周期T=πω,所以-π4ω≤-3π2,π4ω≥3π2,解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.【答案】B已知函数单调性求参数——明确一个不同,掌握两种方法(1)明确一个不同:“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同,显然M是N的子集.(2)抓住两种方法.已知函数在区间M上单调求解参数问题,主要有两种方法:一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解;二是利用导数,转化为导函数在区间M上的保号性,由此列不等式求解.角度四利用三角函数的单调性求值域(最值)(1)函数f(x)=3sin2x-π6在区间0,π2上的值域为()A.-32,32B.-32,3C.-332,332D.-332,3(2)函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为__________.【解析】(1)当x∈0
本文标题:2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质 第1课时 三角
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