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数学第四章三角函数、解三角形第3讲简单的三角恒等变形第2课时简单的三角恒等变形01核心考点深度剖析02高效演练分层突破三角函数式的化简(师生共研)(1)化简:2cos4x-2cos2x+122tanπ4-xsin2π4+x=________;(2)(一题多解)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=________.【解析】(1)原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2×sinπ4-xcosπ4-x·cos2π4-x=(2cos2x-1)24sinπ4-xcosπ4-x=cos22x2sinπ2-2x=cos22x2cos2x=12cos2x.(2)法一:原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α2·1+cos2β2-12cos2αcos2β=1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β4+1+cos2β+cos2α+cos2αcos2β4-12cos2αcos2β=12+12cos2αcos2β-12cos2αcos2β=12.法二:原式=(1-cos2α)(1-cos2β)+cos2αcos2β-12(2cos2α-1)(2cos2β-1)=1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β+cos2αcos2β-12(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)=1-cos2β-cos2α+2cos2αcos2β-2cos2αcos2β+cos2α+cos2β-12=12.法三:原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-12(cos2α-sin2α)·(cos2β-sin2β)=12(2sin2αsin2β+2cos2αcos2β-cos2αcos2β+cos2αsin2β+sin2αcos2β-sin2αsin2β)=12[sin2α(sin2β+cos2β)+cos2α(sin2β+cos2β)]=12(sin2α+cos2α)=12.【答案】(1)12cos2x(2)12(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.1.化简:2sin(π-α)+sin2αcos2α2=________.解析:2sin(π-α)+sin2αcos2α2=2sinα+2sinαcosα12(1+cosα)=2sinα(1+cosα)12(1+cosα)=4sinα.答案:4sinα2.化简:(1+sinα+cosα)·cosα2-sinα22+2cosα=________(其中0απ).解析:原式=2cos2α2+2sinα2cosα2·cosα2-sinα24cos2α2=cosα2·cos2α2-sin2α2cosα2=cosα2·cosαcosα2,因为0απ,所以0α2π2,故cosα20,所以原式=cosα.答案:cosα三角函数的求值(多维探究)角度一给角求值[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin280°=________.【解析】原式=2sin50°+sin10°·cos10°+3sin10°cos10°·2sin280°=2sin50°+sin10°·cos10°+3sin10°cos10°·2cos10°=22[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=22sin(50°+10°)=22×32=6.【答案】6该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变形将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.角度二给值求值(一题多解)已知cosπ4+x=35,若1712πx74π,则sin2x+2sin2x1-tanx的值为________.【解析】法一:由1712πx74π,得53πx+π42π.又cosπ4+x=35,所以sinπ4+x=-45,所以cosx=cosπ4+x-π4=cosπ4+xcosπ4+sinπ4+xsinπ4=35×22-45×22=-210,从而sinx=-7210,tanx=7.则sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=2-7210×-210+2-721021-7=-2875.法二:由法一得tanπ4+x=-43.又sin2x=-cosπ2+2x=-cos2π4+x=-2cos2π4+x+1=-1825+1=725.则sin2x+2sin2x1-tanx=sin2x+2sin2x1-sinxcosx=sin2xcosx+2sin2xcosxcosx-sinx=sin2x(sinx+cosx)cosx-sinx=sin2x·1+tanx1-tanx=sin2x·tan(x+π4)=725×(-43)=-2875.【答案】-2875给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变形把求解目标用已知条件表达出来.角度三给值求角若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是________.【解析】因为α∈π4,π,所以2α∈π2,2π,又sin2α=55,所以2α∈π2,π,所以cos2α=-255且α∈π4,π2,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,3π2,所以β-α∈π2,π,所以cos(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=-31010×-255-1010×55=22,又α+β∈5π4,2π,所以α+β=7π4.【答案】7π4通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数,若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.[提醒]对角的范围的限定是求角问题中的难点,一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行:(1)题目给定的角的范围;(2)利用给定的各个三角函数值来限定,如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围,也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围,注意应尽量使角的范围精准,避免增根.1.3tan12°-3sin12°(4cos212°-2)=________.解析:原式=3×sin12°cos12°-3sin12°(4cos212°-2)=3sin12°-3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°-1)=2312sin12°-32cos12°sin24°cos24°=23sin(12°-60°)12sin48°=-43.答案:-432.已知α∈0,π2,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则sinα+π4sin2α+cos2α+1=________.解析:因为2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则(2sinα-3cosα)·(sinα+cosα)=0,又因为α∈0,π2,sinα+cosα0,所以2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cosα=213,sinα=313,所以sinα+π4sin2α+cos2α+1=22(sinα+cosα)2sinαcosα+2cos2α=2(sinα+cosα)4cosα(sinα+cosα)=24cosα=268.答案:2683.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,则2α-β的值为________.解析:因为tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=130,所以0απ2.又因为tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=340,所以02απ2,所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.因为tanβ=-170,所以π2βπ,-π2α-β0,所以2α-β=-34π.答案:-34π三角恒等变形的综合应用(师生共研)已知函数f(x)=24sinπ4-x+64cosπ4-x.(1)求函数f(x)在区间π4,3π2上的最值;(2)若cosθ=45,θ∈3π2,2π,求f2θ+π3的值.【解】(1)由题意得f(x)=24sinπ4-x+64cosπ4-x=22×12sinπ4-x+32cosπ4-x=-22sinx-7π12.因为x∈π4,3π2,所以x-7π12∈-π3,11π12,sinx-7π12∈-32,1,所以-22sinx-7π12∈-22,64,即函数f(x)在区间π4,3π2上的最大值为64,最小值为-22.(2)因为cosθ=45,θ∈3π2,2π,所以sinθ=-35,所以sin2θ=2sinθcosθ=-2425,cos2θ=cos2θ-sin2θ=1625-925=725,所以f2θ+π3=-22sin2θ+π3-7π12=-22sin2θ-π4=-12(sin2θ-cos2θ)=12(cos2θ-sin2θ)=12725+2425=3150.三角恒等变形的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用.(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.(1)求fπ6的值;(2)若sinα=35,且α∈π2,π,求fα2+π24.解:(1)fπ6=cos2π6+sinπ6cosπ6=322+12×32=3+34.(2)因为f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=12+12(sin2x+cos2x)=12+22sin2x+π4,所以fα2+π24=12+22sinα+π12+π4=12+22sinα+π3=12+22(12sinα+32cosα).又因为sinα=35,且α∈π2,π,所以cosα=-45,所以fα2+π24=12+2212×35-32×45=10+32-4620.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
本文标题:2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 简单的三角恒等变形 第2课时 简单的
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