2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及

第五节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的五个关键点x___________________________ωx+φ___________________y=Asin(ωx+φ)0A0-A0232202π322π必备知识·自主学习2.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象的两种途径必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)将函数y=3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin()(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()4(2x).4T2必备知识·自主学习(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图象中最高点的值与最低点的值确定的.()必备知识·自主学习提示:(1)×.将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3cos2x.(2)×.“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为所以当ω≠1时平移的长度不相等.(3)√.(4)√.4||.必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1“五点法”作图,特殊点的选取考点一、T42注意先平移后伸缩,先伸缩后平移的区别基础自测T23求φ值易出错考点二、T1必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修4P39练习T2改编)为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin2x的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2x3（－）6363必备知识·自主学习【解析】选A.因为y=2sin2x=所以将y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可得y=2sin的图象.2sin[2(x)],632x3（－）6必备知识·自主学习2.(必修4P36思考改编)为了得到y=3cos的图象,只需把y=3cos图象上的所有点的()A.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的横坐标不变D.横坐标缩短到原来的纵坐标不变(3x)8＋(x)8＋13，13，必备知识·自主学习【解析】选D.因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需把y=3cos图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的即可得到函数y=3cos的图象.(x)8＋13，(3x)8＋必备知识·自主学习3.(必修4P37例1改编)已知函数f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为_______________,周期T为______________,频率为________________,初相φ为______________.(x)(||)32＋必备知识·自主学习【解析】振幅A=2,T==6,f=因为图象过点(0,1),所以1=2sinφ,所以sinφ=,又|φ|所以φ=答案:26231,6122，.6166必备知识·自主学习4.(必修4P44练习T4改编)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:选用一个正弦型函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为__________.月份x1234收购价格y/(元/斤)6765必备知识·自主学习【解析】设y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0),由题意得A=1,b=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=sin+6.因为当x=1时,y=6,所以6=sin+6,结合表中数据得+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,所以y=sin+6.答案:(答案不唯一)y=sin+622(x)2＋()2＋22(x)22－(x)22－核心素养·微专题【核心素养】数学建模——三角函数应用问题【素养诠释】数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型,最终解决实际问题.核心素养·微专题【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5核心素养·微专题经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b(A0,ω0)的图象.根据以上数据,(1)求函数f(t)的解析式.(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.核心素养·微专题【素养立意】与实际问题相结合,考查三角函数模型的应用.注意本题建立的是余弦型函数模型.【解析】(1)由表格得又因为T=12,所以ω=故y=f(t)=1Ab1.5,A,2Ab0.5,b1,解得2126，1cost1.26核心素养·微专题(2)由题意,令+11.25,即,又因为t∈[0,24],所以t∈[0,4π],故或即0≤t2或10t≤12或12t14或22t≤24,所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.1cost26cost612650tt2,6336或＜52t22t22,6336＜或＜核心素养测评