2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第5讲 数学归纳法课件 理 北师大版

数学第十二章复数、算法、推理与证明第5讲数学归纳法01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取____________(n0∈N+)时命题成立．(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当_________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k＋1二、教材衍化1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．4解析：选C.凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.2．已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________．答案：345n＋1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．()×××√二、易错纠偏常见误区(1)误认为利用数学归纳法证明时第一步验证的初始值均为n＝1；(2)利用数学归纳法证明时，添加的项出错，或不利用归纳假设．1．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝422＋1＝5，当n＝3时，23＝832＋1＝10，当n＝4时，24＝1642＋1＝17，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，当n＝6时，26＝6462＋1＝37，故起始值n0应取5.2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．答案：(2k＋2)＋(2k＋3)用数学归纳法证明等式(师生共研)用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n（2n＋2）＝n4（n＋1）(n∈N+)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14×（1＋1）＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k∈N+且k≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＝k4（k＋1），则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k（2k＋2）＋12（k＋1）[（2（k＋1）＋2]＝k4（k＋1）＋14（k＋1）（k＋2）＝k（k＋2）＋14（k＋1）（k＋2）＝（k＋1）24（k＋1）（k＋2）＝k＋14（k＋2）＝k＋14（k＋1＋1）.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N+等式都成立．用数学归纳法证明等式的注意点(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N+)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥1)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N+等式成立．用数学归纳法证明不等式(典例迁移)(2019·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N+，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝an2bn，n∈N+，证明：c1＋c2＋…＋cn2n，n∈N+.【解】(1)设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而an＝2n－2，n∈N+.所以Sn＝n2－n，n∈N+.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．解得bn＝1d(S2n＋1－SnSn＋2)．所以bn＝n2＋n，n∈N+.(2)证明：cn＝an2bn＝2n－22n（n＋1）＝n－1n（n＋1），n∈N+.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝02，不等式成立；②假设当n＝k(k∈N+)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck2k，那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋12k＋k（k＋1）（k＋2）2k＋1k＋12k＋2k＋1＋k＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋cn2n对任意n∈N+成立．用数学归纳法证明不等式的注意点(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n，求证：当n∈N+时，anan＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，所以a2＝5－12，即a1a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥1)时，0≤akak＋1，所以a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)0，又ak＋1ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋10，所以ak＋1ak＋2，即当n＝k＋1时，anan＋1也成立．综上，可知anan＋1对任何n∈N+都成立．归纳—猜想—证明(师生共研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an2＋1an－1，且an0，n∈N+.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．【解】(1)当n＝1时，由已知得a1＝a12＋1a1－1，即a21＋2a1－2＝0，解得a1＝3－1(a10)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝a22＋1a2－1，将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0，解得a2＝5－3(a20)．同理可得a3＝7－5.猜想an＝2n＋1－2n－1.(2)证明：①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N+)时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋1ak＋1－ak2－1ak，将ak＝2k＋1－2k－1代入上式，整理得a2k＋1＋22k＋1·ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝2k＋3－2k＋1，即n＝k＋1时通项公式仍成立．由①②可知对所有n∈N+，an＝2n＋1－2n－1都成立．“归纳—猜想—证明”的一般步骤(1)计算：根据条件，计算若干项．(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论．(3)证明：用数学归纳法证明．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝32，a2＝74，a3＝158，猜想an＝2－12n.(2)证明：①由(1)得n＝1，2，3时，结论成立．②假设n＝k(k≥3，k∈N+)时，结论成立，即ak＝2－12k，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，所以2ak＋1＝2＋2－12k，ak＋1＝2－12k＋1，即当n＝k＋1时，结论也成立．根据①②得，对一切n∈N+，an＝2－12n都成立．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放