2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第4讲 导数的综合应用 第2课时 利用导数探究函数

数学第三章导数及其应用第4讲导数的综合应用第2课时利用导数探究函数零点问题01核心考点深度剖析02高效演练分层突破判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．【证明】设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.当x∈0，π2时，g′(x)0；当x∈π2，π时，g′(x)0，所以g(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减．又g(0)＝0，g(π2)0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．已知f(x)＝1x＋exe－3，F(x)＝lnx＋exe－3x＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－1x2＋exe＝x2ex－eex2，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F′(x)＝f(x)＝1x＋exe－3，由(1)得∃x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，而F(1)＝0，当x→0时，F(x)→－∞，当x→＋∞时，F(x)→＋∞，画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．已知零点个数求参数范围(师生共研)函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以－1＋2＝－2a，－1×2＝b，解得a＝－12，b＝－2，由导函数的图象可知(图略)，当－1x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－1，2)．(2)由(1)得f(x)＝13x3－12x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝76＋c，极小值为f(2)＝c－103.而函数f(x)恰有三个零点，故必有76＋c＞0，c－1030，解得－76c103.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是－76，103.已知函数(方程)零点的个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．(2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R，又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1.易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在(0，1]上单调递增，所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.(2)由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex0，①当a0时，f′(x)0，f(x)在R上是增函数，当x1时，f(x)＝ex＋a(x－1)0；当x0时，取x＝－1a，则f－1a1＋a－1a－1＝－a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．在(－∞，ln(－a))上，f′(x)0，f(x)单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)0，f(x)单调递增，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)0，解得－e2a0.综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放