2021版高考数学一轮复习 第七章 数列 7.2 等差数列课件 苏教版

第二节等差数列内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.等差数列与等差中项(1)等差数列的定义式:______=d(常数)(n∈N*).(2)等差中项①定义:a,A,b成等差数列,A叫a,b的等差中项.②公式:a,A,b成等差数列⇔_________.③性质:{an}是等差数列⇒2an+1=______或2an=________.an+1-anan+an+2an+m+an-mabA2必备知识·自主学习(3)通项公式及其推广式①通项公式:an=_________.②推广式:an=am+_______,推广式的变形d=________,③an=pn+q(p,q是常数)(即an是n的一次函数)(4)前n项和公式Sn=___________或Sn=____________.a1+(n-1)d(n-m)dnmaanm－－1n(n1)nad2－＋1nn(aa)2＋必备知识·自主学习2.等差数列与函数的关系(1)等差数列{an}的通项公式可写成an=_________,当d≠0时,它是关于n的__________,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列_____的点.注:当d0时,{an}是_____数列;当d0时,{an}是_____数列;当d=0时,{an}是_______.dn+(a1-d)一次函数孤立递增递减常数列必备知识·自主学习(2)前n项和公式可变形为Sn=____________,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的_________,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列_________.注:若a10,d0,则Sn存在最___值;若a10,d0,则Sn存在最___值.二次函数孤立的点大小21ddn(a)n22＋－d21d(a)2－必备知识·自主学习3.等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则__________.(2)若{an}是等差数列,则{a2n}也是等差数列,公差为___.(3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为___的等差数列.(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(6)S2n-1=(2n-1)an.ak+al=am+an2dmd必备知识·自主学习(7)若n为偶数,则S偶-S奇=;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).(8)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为.nd2n2n1n2n1aSbT－－＝必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(4)若{an}是等差数列,公差为d,则数列{a3n}也是等差数列.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()n2a＋必备知识·自主学习提示:(1)×.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.(2)√.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义知数列{an}为等差数列.(3)√.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;d0时为递减数列.(4)√.因为{an}是等差数列,公差为d,所以a3(n+1)-a3n=3d(与n值无关的常数),所以数列{a3n}也是等差数列.必备知识·自主学习(5)×.等差数列的前n项和公式Sn=na1+显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数,否则不是(甚至当a1=d=0时也不是n的一次函数).21n(n1)dddn(a)n222－＝＋－，必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1不能正确进行公式转化考点一、T3,52不能正确得出判断考点二、T23性质运用不熟练考点三、角度1,2必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修5P47习题2.2(2)T5(1)改编)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=2,S4=14,则S6等于()A.32B.39C.42D.45【解析】选B.设公差为d,由题意得解得所以S6=6a1+d=39.11ad2,434ad142，1a1d3＝－，＝，562必备知识·自主学习2.(必修5P40习题2.2(1)T3改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________.【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,设该等差数列为{an},则a100=-8+99×5=487.答案:487必备知识·自主学习3.(必修5P47习题2.2(2)T1改编)已知等差数列5,4,3,…,则前n项和Sn=________.【解析】设该等差数列为{an},由题知公差d=-,所以Sn=na1+d=(75n-5n2).答案:(75n-5n2)274757n(n1)2－114114核心素养·微专题【思想方法】函数思想在等差数列前n项和最值求解中的应用【典例】(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式.(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.核心素养·微专题【解析】(1)设{an}的公差为d,则a2+10=a1+d+10=d,a3+8=a1+2d+8=2d-2,a4+6=a1+3d+6=3d-4,又因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以d(3d-4)=(2d-2)2,即d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-12,n∈N*.核心素养·微专题(2)Sn==n(n-11),二次函数y=x(x-11)的对称轴为x=5.5,所以当n=5或6时,Sn有最小值-30.1nn(aa)2核心素养·微专题【思想方法指导】因为数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题.在求解等差数列前n项和的最值问题时,应注意以下三点:(1)等差数列的前n项和与函数的关系;(2)Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点;(3)注意n为正整数以及抛物线的开口方向.核心素养·微专题【迁移应用】已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通项公式an.(2)求{an}前n项和Sn的最大值.核心素养·微专题【解析】(1)根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d变形有an=am+(n-m)d,则公差d=,所以d==-2,所以通项公式an=a2+(n-2)d=1+(n-2)×(-2)=-2n+5.(2)根据等差数列前n项和公式Sn==na1+d有Sn=3n+×(-2)=-n2+4n,配方得Sn=-(n-2)2+4,根据二次函数图象及性质可知,当n=2时,前n项和取得最大值,最大值为4.nmaanm－－52aa515252－－－－－1nn(aa)2n(n1)2－n(n1)2－核心素养测评