2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线课件 文 新人教A版

数学第九章平面解析几何第7讲抛物线01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__________；(3)定点__________定直线上．相等不在2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点________________________________________离心率e＝__________准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p21常用结论与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．二、习题改编1．(选修1­1P58例1(2)改编)若抛物线的焦点是F0，－12，则抛物线的标准方程为______．答案：x2＝－2y2．(选修1­1P59练习T2改编)抛物线y2＋4x＝0的准线方程__________．答案：x＝13．(选修1­1P59练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是__________．答案：(3，±6)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()××××二、易错纠偏常见误区(1)不注意抛物线方程的标准形式；(2)忽视p的几何意义．1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A.y2＝－xB.x2＝－8yC.y2＝－8x或x2＝－yD.y2＝－x或x2＝－8y解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是__________．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.答案：y2＝±42x抛物线的定义(典例迁移)(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，点Px0，12在C上，且|PF|＝34，则p＝()A.14B.12C.34D.1(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________．【解析】(1)抛物线的准线方程为y＝－p2，因为Px0，12在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝12＋p2＝|PF|＝34，则p＝12，故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】(1)B(2)4【迁移探究1】(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.【迁移探究2】(变设问)若本例(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是__________．解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：2抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的定义知p＝12，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.故选C.2．(2020·沈阳市质量监测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为__________．解析：由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋p2＝92，即x1＝3.代入得y21＝18，则|MO|＝x21＋y21＝33(O为坐标原点)，故填33.答案：33抛物线的标准方程及性质(师生共研)(1)(2020·陕西榆林二模)已知抛物线y2＝2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，则抛物线的标准方程为()A.y2＝xB.y2＝2xC.y2＝4xD.y2＝8x(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【解析】(1)抛物线y2＝2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，由抛物线的定义可得xM＋p2＝xM＋12，所以p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.故选B.(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，故选B.【答案】(1)B(2)B(1)求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.(2)抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为__________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y2．(2020·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是__________．解析：如图，设△AOB的边长为a，则A32a，12a，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以14a2＝3×32a，所以a＝63.答案：633．(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为__________．解析：由题意知x2＝12y，则F0，18，设P(x0，2x20)，则|PF|＝x20＋2x20－182＝4x40＋12x20＋164＝2x20＋18，所以当x20＝0时，|PF|min＝18.答案：18直线与抛物线的位置关系(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.【解】设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32，由题设可得x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12（t－1）9.从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4133.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．1．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A.x2＝32yB.x2＝6yC.x2＝－3yD.x2＝3y解析：选D.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由x2＝ay，y＝2x－2，消去y得x2－2ax＋2a＝0，所以x1＋x22＝2a2＝3，即a＝3，所以所求的抛物线方程是x2＝3y.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A.5B.6C.7D.8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x＝1，y＝2或x＝4，y＝4，不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN→＝(3，4)，所以FM→·FN→＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→·FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.3．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为__________．解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，由方程组y＝kx＋（2k＋1），y2＝4x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①当k＝0时，y＝1，此时x＝14，l与抛物线仅有一个公