2020年高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系课件

第四章圆与方程4．2直线、圆的位置关系4．2．1直线与圆的位置关系登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．理解直线和圆的三种位置关系．2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．学习目标‖自主导学‖预习课本P126～P128，思考并完成以下问题．知识点一|直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数1___个2___个3___个210几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d4___rd5___rd6___r判定方法代数法：由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ7__0Δ8__0Δ9__0图形＜＝＞＞＝＜[思考探究]………………|辨别正误|判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．()×(2)直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交且过圆心．()√(3)若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a相切，则a等于4.()×知识点二|圆的切线问题1．求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线．2．切线段的长度公式(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝x0－a2＋y0－b2－r2.(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.‖小试身手‖1．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是()A．±1B．±12C．±33D．±3解析：选C设直线l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.又l与圆相切，∴|2k|1＋k2＝1.∴k＝±33.2．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝2×25－5＝220＝45.答案：45剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.Δ＝4m(3m＋4)．(1)当Δ0，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ0，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d2，即m0或m－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d2，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.|方法总结|1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切解析：选C直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交．2．设m＞0，则直线l：2(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为()A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切解析：选C圆心到直线l的距离为d＝1＋m2，圆的半径为r＝m，∵d－r＝1＋m2－m＝12(m－2m＋1)＝12(m－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．题型二直线与圆相切的有关问题【例2】过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．[解]由于(2－1)2＋(4＋3)2＝501，故点M在圆外．当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，由于直线与圆相切，故|k＋3＋4－2k|k2＋－12＝1，解得k＝247.所以切线方程为24x－7y－20＝0.又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.【探究1】[变条件]若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？[解]由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上，设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在．∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率k＝0，∴切线方程为y＝－2.【探究2】[变结论]若例2中的条件不变，如何求其切线长？[解]由题知，设切线长为d，d＝[2－12＋4＋32]2－1＝50－1＝7.|方法总结|(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．(3)求切线长最小值的两种方法①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.3．圆x2＋y2＝4在点P(3，－1)处的切线方程为()A.3x＋y－2＝0B.3x＋y－4＝0C.3x－y－4＝0D.3x－y＋2＝0解析：选C∵(3)2＋(－1)2＝4，∴点P在圆上．∵切点与圆心连线的斜率为－33，∴切线的斜率为3.∴切线方程为y＋1＝3(x－3)，即3x－y－4＝0.4．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为．解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×12|OA|·|PA|＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离，|OP|min＝1022＋12＝25.故所求最小值为2252－4＝8.答案：8题型三圆的弦长问题【例3】求直线x－3y＋23＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．[解]解法一：直线x－3y＋23＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组x－3y＋23＝0，x2＋y2＝4的解．解这个方程组，得x1＝－3，y1＝1，x2＝0，y2＝2.所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x－3y＋23＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为－3－02＋1－22＝2.解法二：如图，设直线x－3y＋23＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，所以|OM|＝|0－0＋23|12＋－32＝3.所以|AB|＝2|AM|＝2|OA|2－|OM|2＝222－32＝2.|方法总结|求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2.即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，其中k为直线l的斜率.5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥23，则k的取值范围是．解析：因为|MN|≥23，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于22－32＝1，即|k＋1|k2＋1≤1，解得k≤0.答案：(－∞，0]6．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为．解析：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝|－1|2＝22，则有|AB|＝2r2－d2＝28－12＝30.答案：30知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．两种方法：判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一个公式：一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|.3．一个注意：研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．「自测检评」1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心解析：选C解法一：圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上．解法二：直线kx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上．2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.∴圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析：选D依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0,0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为|c|22＋12＝5，解得c＝±5.故所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.4．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于()A．1B.2C.3D．2解析：选D直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.5．过原点的直线与圆