2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2.3 指数函数与对数函数的关系课件 新人教B版

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解反函数的概念，知道同底的指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图象间的对称关系．2．利用计算工具，比较指数函数、对数函数增长的差异．3．能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.1．反函数当一个函数是__________时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，称这两个函数互为反函数；互为反函数的图象关于直线_____对称．y＝x一一映射2．指数函数与对数函数增减情况a1时，指数函数y＝ax与对数函数y＝logax都_____________________________.0a1时，指数函数y＝ax与对数函数y＝logax都__________________________，但它们在不同的区间上增长或减小的速度不同.随x的增长函数值却在减小随x的增长函数值也在增长a10a1(－∞，0]增长缓慢__________y＝ax[0，＋∞)__________减小缓慢(0,1]增长迅速__________y＝logax[1，＋∞)__________减小缓慢减小迅速增长迅速减小迅速增长缓慢1．函数y＝log12x(x0)的反函数是()A．y＝x12，x0B．y＝12x，x∈RC．y＝x2，x∈RD．y＝2x，x∈R答案：B2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0且a≠1)的反函数，其图象经过点(4,2)，则a＝________.解析：y＝f(x)经过点(4,2)，则y＝ax经过点(2,4)，∴a2＝4，∴a＝2.答案：23．若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－1)＝________.解析：由y＝2x＋1，得x＝y－12，∴f－1(x)＝12x－12，∴f－1(－1)＝－12－12＝－1.答案：－1典例精析规律总结课堂互动探究1函数的图象类型已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的()【解析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响．解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A、C．其次，从单调性着眼，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D．∴应选B．解法二：若0a1，则曲线y＝ax下降且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过(－1,0)，而所有选项均不符合这些条件．若a1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过(－1,0)，只有B满足条件．解法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选定B．【答案】B已知函数y＝12x的图象与函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象交于点P(x0，y0)，如果x0≥2，那么a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[4，＋∞)C．[8，＋∞)D．[16，＋∞)解析：如图所示，y＝12x经过点2，14，若y＝12x与y＝logax的图象交于点P(x0，y0)，x0≥2，则0＜loga2≤14，∴a14≥2，∴a≥16，故选D．答案：D2反函数类型(1)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)，f(x)的反函数为f－1(x)，若f－1(2)＝9，则a＝()A．2B．3C．12D．13(2)设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于()A．3B．4C．5D．6【解析】(1)由f－1(2)＝9，知f(9)＝2，则loga9＝2，即a2＝9，且a0得a＝3，故选B．(2)∵f(x)过(2,1)，∴1＝loga(2＋b)，即2＋b＝a，又∵f－1(x)过(2,8)，∴f(x)过(8,2)，∴2＝loga(8＋b)，即a2＝8＋b，∴由2＋b＝a，a2＝8＋b，∴a＝3，b＝1或a＝－2，b＝－4.∵a＞0，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4，故选B．【答案】(1)B(2)B【知识点拨】反函数定义的理解(1)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．例如：x＝y2(y∈Z)不是函数y＝2x的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域．(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数．只有当一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数．如果有反函数y＝f－1(x)，那么原来函数y＝f(x)也是反函数y＝f－1(x)的反函数，即它们互为反函数．(3)反函数也是函数，因为它们符合函数的定义．(4)函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)，它们的图象关于直线y＝x对称．已知f(x)＝1－3x1＋3x，求f－145的值．解：令1－3x1＋3x＝45，得3x＝19，即x＝－2，所以f－145＝－2.3指数函数与对数函数的综合应用类型已知函数f(x)＝ax－a＋1，(a0且a≠1)恒过定点(3,2)．(1)求实数a；(2)在(1)的条件下，将函数f(x)的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g(x)，设函数g(x)的反函数为h(x)，求h(x)的解析式；(3)对于定义在[1,9]的函数y＝h(x)，若在其定义域内，不等式[h(x)＋2]2≤h(x2)＋m＋2恒成立，求m的取值范围．【解】(1)由已知a3－a＋1＝2，∴a＝3.(2)∵f(x)＝3x－3＋1，∴g(x)＝3x，∴h(x)＝log3x(x0)．(3)要使不等式有意义，则有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，据题有(log3x＋2)2≤log3x2＋m＋2在[1,3]上恒成立．∴设t＝log3x(1≤x≤3)，∴0≤t≤1.∴(t＋2)2≤2t＋m＋2在t∈[0,1]时恒成立，即m≥t2＋2t＋2在t∈[0,1]时恒成立，设y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，t∈[0,1]，∴t＝1时有ymax＝5，∴m≥5.设a，b，c分别是方程2x＝log12x，12x＝log12x，12x＝log2x的实数根，则有()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析：在同一坐标系中作出y＝2x，y＝12x，y＝log2x，y＝log12x的图象．如图所示，可知a＜b＜c，故选A．答案：A即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一函数的图象1．函数y＝3|log3x|的图象是()解析：y＝3|log3x|＝1x，0＜x≤1，x，x＞1，∴故函数y＝3|log3x|的图象为A．答案：A知识点二反函数的性质2．若函数y＝f(x)与函数y＝lnx＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝()A．e2x－2B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2解析：由y＝lnx＋1得，y－1＝lnx，∴x＝ey－1，∴x＝e2y－2，∴f(x)＝e2x－2，故选A．答案：A3．函数g(x)是函数f(x)＝loga(x－2)(a0，且a≠1)的反函数，则函数g(x)的图象过定点________．解析：f(x)＝loga(x－2)经过定点(3,0)，根据反函数性质关于y＝x对称，所以g(x)过定点(0,3)．答案：(0,3)知识点三函数的性质4．已知a＝0.23.5，b＝0.24.1，c＝e1.1，d＝log0.23，则这四个数的大小关系是()A．a＜b＜c＜dB．a＞b＞c＞dC．d＜b＜a＜cD．b＞a＞c＞d解析：y＝0.2x是减函数，∴1＞0.23.5＞0.24.1＞0，c＝e1.1＞1，d＝log0.23＜0，∴d＜b＜a＜c，故选C．答案：C知识点四求反函数5．求下列函数的反函数．(1)y＝πx；(2)y＝－log6x；(3)y＝1ex.解：(1)∵y＝πx为指数函数，底数为π，∴y＝πx的反函数为对数函数y＝logπx.(2)∵y＝－log6x＝log16x为对数函数，∴y＝－log6x的反函数为指数函数y＝16x.(3)∵y＝1ex为指数函数，∴y＝1ex的反函数为y＝log1ex.