2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末总结归纳课件 新人教B版必修2

第二章平面解析几何初步章末总结归纳1.要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数．待定系数法可分以下几步进行：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数的值；④把参数的值代入所设的方程．1求直线和圆的方程专题2．求圆的方程有两类方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程．(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．【解】解法一：直线l与两坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，需且只需直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l的方程为xa＋ya＝1或xa＋y－a＝1(a≠0)．当直线l的方程为xa＋ya＝1时，把P(8,6)代入得8a＋6a＝1，a＝14，所以直线l的方程为x＋y－14＝0；当直线l的方程为xa＋y－a＝1时，点P(8,6)在l上，所以8a－6a＝1，a＝2，所以直线l的方程为x－y－2＝0.综上所述，直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－14＝0.解法二：设所求直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－bk，所以|b|＝－bk.因为b≠0，所以k＝±1.当k＝1时，直线l的方程式为y＝x＋b，点P(8,6)在直线l上，所以6＝8＋b，b＝－2，所以l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0；当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b，把点P(8,6)代入得b＝14，所以直线l的方程为x＋y－14＝0.综上所述，所求的直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．【解】解法一：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2，所以r2＝|a－b|22＋(7)2，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与x轴相切，所以r2＝b2.②又因为所求的圆的圆心在直线3x－y＝0上，所以3a－b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.解法二：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.④又圆心－D2，－E2到直线y＝x的距离为－D2＋E22，由已知，得－D2＋E222＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圆心－D2，－E2在直线3x－y＝0上，所以3D－E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.2数形结合思想在解析几何中的应用专题数形结合的思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，两个方面相辅相成，互为补充，利用数形结合的思想来解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题，具体可通过以下几个模型来说明：(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可借助于图形分析转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．【解】作图得A，B在l异侧，A，C在l同侧．设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点满足(1)；C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点满足(2)．事实上，若P′是l上异于P的点，则对于(1)，|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′|＜|AB′|＝|PA|－|PB′|＝|PA|－|PB|；对于(2)，|P′A|＋|P′C|＝|P′A|＋|P′C′|＞|AC′|＝|PA|＋|PC|.(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·b－4a＝－1，∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为a2，b＋42，且在直线l上，∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)，于是AB′的方程为y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5.故l与AB′的交点P(2,5)即为所求．(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为35，245.∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为117，267.故l与AC′的交点P117，267即为所求．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．(1)求y－2x－1的最大值与最小值；(2)求x－2y的最大值与最小值．【解】(1)显然y－2x－1可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令y－2x－1＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴|－2k＋2－k|1＋k2＝1，∴k＝3±34.故y－2x－1的最大值是3＋34，最小值是3－34.(2)令u＝x－2y，则x－2y－u＝0可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u|5＝1，解得u＝－2±5，故x－2y的最大值是－2＋5，最小值是－2－5.已知曲线C：x＝4－y2(－2≤y≤2)和直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．【解】如右图，曲线C表示的是以(0,0)为圆心，2为半径的右半圆，直线y＝k(x－1)＋3过定点M(1,3)，点A(0,2)，点B(0，－2)．由图可得kAM＝11＝1，kBM＝51＝5，∴1≤k＜5.又当直线与曲线C相切时，有|－k＋3|1＋k2＝2,3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1－263或－1＋263(舍)．∴k取值的集合为k1≤k＜5或k＝－1－263.3坐标法的应用专题坐标法是数学中一种重要的数学思想方法，它是借助于坐标系来研究几何图形的一种方法，是数形结合的典范．本章中借助这种方法在平面上建立直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用直线和圆上点的坐标(x，y)所满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，间接地来研究直线和圆的性质．推而广之，本章最后在空间中建立空间直角坐标系，用有序数组表示点，初步解决了空间两点间的距离等问题，也就是说用坐标法，可以研究空间中几何体的性质．用坐标法证明定理：如果ABCD是长方形，则对于平面上任一点M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立．【证明】如图，取A为坐标原点、AB所在的直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设AB＝a，AD＝b，依据长方形的性质可设A、B、C、D的坐标分别为：A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)．∴AM2＝x2＋y2，BM2＝(x－a)2＋y2，CM2＝(x－a)2＋(y－b)2，DM2＝x2＋(y－b)2.∴AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，BM2＋DM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.1．直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为()A．－3B．3C．－6D．6解析：由题可知两直线互相垂直，则－13·k＝－1，∴k＝3，故选B．答案：B2．如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，则a，b的值为()A．a＝－12，b＝0B．a＝2，b＝0C．a＝12，b＝0D．a＝－12，b＝2解析：由题可得a1＝1－b－2≠53，1＋a1＝－1－2≠－b3，∴a＝－12，b＝0，故选A．答案：A3．已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()A．π6B．π3C．π2D．2π3解析：令y＝0，则x2－4x＝0，∴x＝0或x＝4，∴|AB|＝4，圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8.∴r＝22，∴|CA|＝|CB|＝22，∴|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，∴∠ACB＝π2，故选C．答案：C4．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．解析：画出满足题意的图象如图所示．由弦长为22知|MN|＝2.又y＝x－1的倾斜角为45°，∴|NC|＝|MN|＝2.∴|MC|＝22＋22＝2.∴C点坐标为(3,0)．∵直线l的斜率为1，∴所求直线的斜率为－1.∴所求直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝05．已知点A32，0，B(3,0)，动点M到A与B的距离比为常数12，求点M的轨迹方程．解：设动点M的坐标为(x，y)，则由题意得|MA||MB|＝12，即x－322＋y2x－32＋y2＝12，两边平方整理得(x－1)2＋y2＝1.