2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系课件

第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．能根据斜率判定两条直线平行、相交与重合．能根据两条直线平行求直线的方程．2．能根据斜率判定两条直线垂直．能根据两条直线垂直，求直线方程.1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)代数方法判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解______无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或_______________________有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或________(A2B2≠0)A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)A1A2≠B1B2平行方程组的解位置关系交点个数代数条件有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或_______________(A2B2C2≠0)A1A2＝B1B2＝C1C2(2)几何方法判断两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断．具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交图示k，b满足条件k1＝k2且b1≠b2k1＝k2且b1＝b2k1≠k22．两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件图示倾斜角的关系设直线l1的倾斜角为α1，l2的倾斜角为α2，则|α2－α1|＝90°系数关系l1⊥l2⇔________________斜率关系当直线l1与l2斜率都存在且分别为k1，k2时，l1⊥l2⇔____________A1A2＋B1B2＝0k1·k2＝－11．直线2x－y＋1＝0与直线4x－2y＋2＝0的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．平行或重合答案：C2．两条直线x＋my＋12＝0和2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值是()A．6B．－24C．±6D．以上都不对解析：x＋my＋12＝0，令x＝0，y＝－12m，2x＋3y＋m＝0，令x＝0，y＝－m3，∴－12m＝－m3，∴m＝±6，故选C．答案：C3．过点(2,0)且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程是________．解析：直线x－2y＋1＝0的斜率为12，∴所求直线为：y＝12(x－2)，即x－2y－2＝0.答案：x－2y－2＝0典例精析规律总结课堂互动探究1两条直线相交、平行与重合类型(1)已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，则l1与l2的关系是()A．平行B．重合C．相交D．以上答案都不对(2)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A．－2B．－3C．2或－3D．－2或－3【解析】(1)由题可得21＝－4－2≠75，∴l1∥l2，故选A．(2)由m2＝3m＋1，得m＝2或m＝－3，当m＝2时，m2≠4－2，当m＝－3时，m2≠4－2，∴m的值为2或－3，故选C．【答案】(1)A(2)C【知识点拨】利用两直线相交，平行，重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论．已知两直线l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－1)x＋2my＋2m＝0，若l1∥l2，则m为()A．0B．－1或12C．3D．0或3解析：由1·2m－m(m－1)＝0，得m＝0或m＝3.当m＝3时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，l1与l2重合，∴m≠3；当m＝0时，l1：x＋3＝0，l2：x＝0，l1∥l2，∴故选A．答案：A2两条直线垂直的判定类型已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0垂直，则m＝()A．2B．－2C．12D．－12【解析】由l1⊥l2，得m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选A．【答案】A直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于()A．－2B．2C．－12D．13解析：直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，由于直线y＝2x＋1的斜率为2，两条直线的斜率之积为－1，所以k＝－12.答案：C已知两条直线ax－y－2＝0和(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则a等于()A．－1B．0C．1D．2解析：∵两条直线垂直，∴a(a＋2)＋1＝0，∴a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.故选A．答案：A3两条直线平行与垂直的综合应用类型根据下列条件，分别求直线方程：(1)经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程；(2)经过直线x－y－1＝0与2x＋y－2＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．【解】(1)解法一：设所求直线方程的斜率为k，则k·(－2)＝－1，∴k＝12，又直线经过(3,0)点，∴直线方程为y＝12(x－3)，即x－2y－3＝0.解法二：由题可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(3,0)代入得3－2×0＋m＝0，∴m＝－3.∴直线方程为x－2y－3＝0.(2)由题可得x－y－1＝0，2x＋y－2＝0，得x＝1，y＝0，∴直线经过(1,0)点，且与直线x＋2y－3＝0平行，设直线方程为x＋2y＋n＝0，将点(1,0)代入得1＋2×0＋n＝0，∴n＝－1，∴所求直线方程为x＋2y－1＝0.【知识点拨】(1)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程为Bx－Ay＋m＝0；(2)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为Ax＋By＋n＝0(n≠C)．已知，△ABC中，A(1,1)，B(2，－3)，C(3，5)，写出满足下列条件的直线方程(要求最终结果都用直线的一般式方程表示)．(1)求直线AB的方程；(2)BC边中点为D，求中线AD的方程；(3)BC边上的高线的方程；(4)BC边的垂直平分线的方程．解：(1)AB所在直线的方程为y＋31＋3＝x－21－2，即4x＋y－5＝0.(2)∵B(2，－3)，C(3,5)，∴D52，1.∴AD所在直线的方程为y＝1.(3)kBC＝5＋33－2＝8，∴BC边上的高的斜率为－18，∴高线的方程为y－1＝－18(x－1)，即x＋8y－9＝0.(4)BC的垂直平分线的方程为y－1＝－18x－52，即x＋8y－212＝0.4对称问题类型已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【分析】点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．【解】(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.∴y0＋1x0＋2×－12＝－1，x0－22＋2×y0－12－2＝0，解得x0＝25，y0＝195，即P′点的坐标为25，195.(2)设直线l关于A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由x＋x12＝1，y＋y12＝1，得x1＝2－x，y1＝2－y.∵P2在直线l上，把P2的坐标(x1，y1)代入l的方程可得：2－x＋2(2－y)－2＝0，即x＋2y－4＝0.∴直线l关于点A(1,1)对称的直线方程为x＋2y－4＝0.【知识点拨】关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．已知三角形内角A的内角平分线所在的直线是l：2x＋y＋1＝0，而B(1,2)和C(－1，－1)是三角形的另外两个顶点，求顶点A的坐标．解：设点B关于l的对称点为B1(x1，y1)，∴l⊥BB1，线段BB1的中点在l上，∵kl＝－2，kBB1＝y1－2x1－1，∴y1－2x1－1＝12，即x1－2y1＋3＝0.①又BB1中点坐标是x1＋12，y1＋22，∴2×x1＋12＋y1＋22＋1＝0.②联立①②可得B1(－3,0)．直线B1C的方程为y＋11＝x＋1－3＋1，即x＋2y＋3＝0.解方程组x＋2y＋3＝0，2x＋y＋1＝0，得A13，－53.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两条直线垂直的判定1．已知直线l1：2x＋y－2＝0，l2：ax＋4y＋1＝0，若l1⊥l2，则a的值为()A．8B．2C．－12D．－2解析：由题可得2a＋4＝0，∴a＝－2，故选D．答案：D知识点二两条直线相交的判定2．已知直线l1：(k＋1)x＋y＋1＝0和l2：(k－3)x－ky－1＝0，若l1与l2有公共点，则k的取值范围为()A．k≠1且k≠－3B．k≠－3C．k＝1D．k＝1且k＝－3解析：由题可得k＋1k－3≠1－k，∴k≠1且k≠－3，当k＝1时，l1与l2重合，有公共点，故选B．答案：B知识点三两条直线垂直的应用3．过点P(1,2)与直线2x＋y－5＝0垂直的直线在y轴上的截距为()A．3B．32C．5D．－52答案：B知识点四两条直线平行的应用4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将(1,0)代入得1－0＋m＝0，∴m＝－1，∴x－2y－1＝0.答案：A知识点五两条直线位置关系的判定5．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2.解：(1)由已知得1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3，故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)由已知得1×(m－2)＋3m＝0，即m＝12，故当m＝12时，l1⊥l2.(3)当1m－2＝m3≠63m，即m＝－1.故当m＝－1时，l1∥l2.